III OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Dowieść, że żadna z cyfr $2$ , $4$ , $7$ , $9$ nie może być ostatnią cyfrą liczby

$ 1 + 2 + 3 + \ldots + n, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

Jeśli ostatnią cyfrą danej liczby jest $x$ , to

$ \frac{n(n + 1)}{2} = 10k + x (k = \textrm{ liczba naturalna}), $

więc

$ n^2 + n - (20k + 2x) = 0. $

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą więc wyróżnik powyższego równania, tj. liczba

$ \Delta = 80k + 8x + 1, $

jest kwadratem liczby całkowitej. Ostatnia cyfra tego wyróżnika jest to ostatnia cyfra liczby $8x + 1$ . Gdy $x$ równa się $2$ , $4$ , $7$ , $9$ , wówczas $8x + 1$ kończy się odpowiednio cyfrą $7$ , $3$ , $7$ , $3$ .

Otóż kwadrat liczby całkowitej kończącej się cyfrą $c$ ma postać $(10a + c)^2 = 100a^2 + 20ac + c^2$ , ma więc tę samą ostatnią cyfrę, co $c^2$ . A ponieważ kwadraty liczb od $0$ do $9$ nie kończą się ani cyfrą $7$ , ani cyfrą $3$ , więc $x$ nie może być żadną z cyfr $2$ , $4$ , $7$ , $9$ .