III OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $2$ m znajdują się schody kręcone o wysokości $6$ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $0,15$ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $18^\circ$ . Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $0,64$ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

Rozwiązanie

Na jedno okrążenie wieży przypada $\frac{360}{18} = 20$ schodów o łącznej wysokości $20 \cdot 0,15 \textrm{m} = 3 \textrm{m}$ . Stopień z numerem $20 + k$ leży więc dokładnie nad stopniem z numerem $k$ w odległości $3 m$ . Rzut prostokątny klatki schodowej na rzutnię poziomą tworzy pierścień kołowy o promieniach $1 \textrm{m}$ i $0,32 \textrm{m}$ podzielony na $20$ wycinków (rys. 43).

Pręt umieszczony w wieży znajduje się w przekroju klatki schodowej płaszczyzną pionową $\alpha$ , w której ten pręt leży. Niech śladem płaszczyzny $\alpha$ na rzutni poziomej będzie prosta $PQ$ . Kształt owego przekroju płaszczyzną pionową znajdziemy wykonując kład płaszczyzny $\alpha$ na rzutnię poziomą, tj. odmierzając na prostopadłych wystawionych w punktach cięciwy $PQ$ odcinki równe wysokościom odpowiednich punktów przekroju, jak wskazuje rys. 43. Łamana $L_2$ powstaje przez przesunięcie łamanej $L_1$ prostopadle do prostej $AB$ o $3$ m. W takim przekroju można umieścić pręt o długości wynoszącej co najwyżej

$ AC = \sqrt{ AB^2 + BC^2}. $

Biorąc pod uwagę płaszczyzny pionowe równoległe do płaszczyzny $\alpha$ , stwierdzamy, że największą wartość długości $AC$ uzyskamy, gdy ślad płaszczyzny będzie styczny do wewnętrznego okręgu pierścienia, gdyż wówczas osiągniemy największe długości odcinków $AB$ i $BC$ .

Należy więc obliczyć największą długość pręta, jaki można przenieść schodami w ten sposób, że pręt podczas ruchu pozostaje styczny do filaru.

Przekrój klatki schodowej płaszczyzną styczną do filaru wykreślamy podobnie, jak przekrój na rys. 43, z tą jednak różnicą, że prosta $AB$ jest styczna do mniejszego okręgu (s. 44).

Długość cięciwy $AB$ obliczamy ze wzoru $AB^2 = 4 (OA^2 - OM^2) = 4 - (0,64)^2$ , a kąt środkowy $AOB$ ze wzoru $\cos \frac{AOB}{2} = \frac{OM}{OA} = 0,32$ , skąd $\measuredangle AOB = 142^\circ 40'$ . W kącie $AOB$ mieści cię w przybliżeniu $7\frac{8}{9}$ wycinka odpowiadającego stopniom schodów.

Przekrój wykreślony na rys. 44 liniami ciągłymi przechodzi przez koniec $A$ krawędzi jednego ze stopni, wobec czego w dolnej części przekroju jest $7$ punktów przecięcia płaszczyzny przekroju pionowego z krawędziami stopni; są to punkty $1,2, \ldots, 7$ , należące do krawędzi o rzutach $OA_1, OA_2, \ldots, OA_7$ . W górnej części przekroju mamy analogiczne punkty $1', 2', \ldots, 7'$ . Obliczamy $BD = 7 \cdot 0,15 \textrm{m} = 1,05 \textrm{m}$ , $BC = BD + DC = 1,05 \textrm{m} + 3 \textrm{m} = 4,05 \textrm{m}$ .

W takim przekroju można umieścić pręt o długości wynoszącej co najwyżej

$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \approx 4,47 \textrm{m}. $

Niech płaszczyzna przekroju pionowego obraca się dokoła osi wieży. Wówczas przekrój będzie się zmieniał, przy czym wszelkie możliwe kształty przekroju wystąpią już przy obrocie od $0^\circ$ do $18^\circ$ ; przy dalszym obrocie powtarzają się co $18^\circ$ jednakowe przekroje przesunięte za każdym razem do góry o $0,15 \textrm{m}$ .

Dla przedstawienia rysunkowego dogodnie jest przyjąć, że płaszczyzna $ABC$ przekroju jest nieruchoma, a obraca się wieża, np. w kierunku zaznaczonym na rysunku 44 strzałką. Przy obrocie od $0^\circ$ do $18^\circ$ punkt $A_1$ przebiega wówczas łuk $A_1A$ , a punkt $A_8$ przebiega łuk $A_8A_7$ Rozważmy kolejne stadia tego obrotu.

1° Gdy punkt $A_8$ zakreśla łuk $A_8B$ , pręt umieszczony początkowo w położeniu $AC$ może pozostawać w tym położeniu, tzn. mieć obliczoną wyżej największą długość $4,47$ m. Zauważmy, że umieszczeniu pręta wzdłuż odcinka $AC$ nie przeszkadza podczas rozważanego obrotu żadna krawędź stopni; na wykonanym dokładnie rysunku jest widoczne, że punkty $1,2, \ldots, 7$ leżą stale po jednej stronie, a punkty $1', 2',\ldots, 7'$ po drugiej stronie prostej $AC$ . Fakt ten można by sprawdzić rachunkowo, wykazując, że kąty $BA1, BA2, \ldots, BA7$ pozostają mniejsze od kąta $BAC$ , a kąty $BC1', BC2' , \ldots, BC7'$ są większe od kąta $BCA$ .

2° Gdy punkt $A_8$ przekroczy przy obrocie punkt $B$ i przebiegać będzie łuk $BA7$ , sytuacja ulegnie zmianie; płaszczyzna $ABC$ przetnie oprócz poprzednich krawędzi stopni jeszcze te krawędzie, których rzutem jest promień $OA_8$ . W górnej części przekroju powstanie z lewej strony ósma wnęka i pręt można będzie przesuwać w płaszczyźnie $ABC$ stopniowo do góry od położenia $AC$ aż do położenia $A'C'$ , tj. podnieść go o wysokość jednego stopnia, czyli o $0,15$ m. Na rys. 44 odpowiedni kształt przekroju został zaznaczony kreskami.

3° Gdy punkt $A_8$ znajdzie się w położeniu $A_7$ , otrzymamy przekrój tego samego kształtu, co przekrój początkowy, lecz podniesiony o $0,15$ m; pręt zachowa nadal położenie $A'C'$ , w którym pozostanie aż do chwili, gdy punkt $A_9$ znajdzie się w punkcie $B$ , po czym znowu można będzie przesuwać pręt ku górze itd.

Z powyższego wynika, że pręt o długości $4,47$ m można przenieść schodami do góry; dłuższego pręta przenieść nie można, gdyż nie zmieściłby się w niektórych przekrojach, np. w przekroju początkowym.

Gdyby natomiast chodziło tylko o umieszczenie pręta w wieży bez przenoszenia, mógłby on mieć największą długość

$ AC' = \sqrt{AB^2 + BC'^2} =\sqrt{4 - (0,64)^2 + (3 + 0,15 \cdot 8)^2} \approx 4.6 \textrm{m}. $