II OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

$ (1) \qquad x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q, $

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $m$ , $n$ , $p$ , $q$ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

Rozwiązanie

Zadanie polega na tym, żeby z założenia, iż trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste takie, że para pierwiastków jednego równania i para pierwiastków drugiego równania przedzielają się wzajemnie, wysnuć zależność, jaka wówczas zachodzić musi między współczynnikami $m$ , $n$ , $p$ i $q$ .

Oznaczmy pierwiastki pierwszego trójmianu przez $x_1$ , $x_2$ i niech wewnątrz przedziału $(x_1, x_2)$ leży pierwiastek $x_3$ , a poza tym przedziałem - pierwiastek $x_4$ drugiego trójmianu.

\spos{I} Weźmiemy pod uwagę różnice między pierwiastkami jednego trójmianu a pierwiastkami drugiego trójmianu.

Według założenia różnice $x_3 - x_1$ i $x_3 - x_2$ mają znaki przeciwne, a różnice $x_4 - x_1$ i $x_4 - x_2$ mają znaki jednakowe, wobec czego

$ (2) \qquad (x_3 - x_1) (x_3 - x_2) < 0, \textrm{ a } (x_4 - x_1) (x_4 - x_2) > 0. $

Ponieważ $x_1 + x_2 == - m$ , $x_1x_2 = n$ , więc

$(x_3 - x_1) (x_3 - x_2) = x_3^2 - (x_1 + x_2)x_3 + x_1x_2 = x_3^2 + mx_3 + n$

$(x_4 - x_1) (x_4 - x_2) = x_4^2 - (x_1 + x_2)x_4 + x_1x_2 = x_4^2 + mx_4 + n$

Nierówności (2) otrzymują postać

$ (3) \qquad x_3^2 + mx_3 + n < 0 \textrm{ i } x_4^2 + mx_4 + n > 0. $

Stąd wynika, że

$ (4) \qquad (x_3^2 + mx_3 + n) (x_4^2 + mx_4 + n) < 0. $

Wykonajmy mnożenie po lewej stronie nierówności (4) uwzględniając przy tym, że $x_3 + x_4 = -p$ , $x_3x_4 = q$ , a $x_3^2 + x_4^2 = (x_3 + x_4)^2 - 2x_3x_4 = p^2 - 2q$ . Otrzymamy

$ \begin{split} (x_3^2 & + mx_3 + n)(x_4^2 + mx_4 + n) = x_3^2 x_4^2 + mx_3x_4 (x_3 + x_4) + \\ & + m^2x_3x_4 (x_3^2 + x_4^2) + mn (x_3 + x_4) + n^2 = q^2 - mpq + m^2q + \\ & + n(p^2 - 2q) - mnp + n^2 = (n - q)^2 + mq (m -p) + np(p-m) = \\ & = (n - q)^2 + (m-p) (mq - np). \end{split} $

Nierówność (4) przybiera postać

$ (5) \qquad (n - q)^2 + (m - p)(mq - np) < 0. $

Uzyskaliśmy twierdzenie: Jeżeli pary pierwiastków trójmianów (1) przedziela się wzajemnie, to współczynniki tych trójmianów spełniają warunek (5).

\spos{II} Oprzemy sie na znanym twierdzeniu o znaku funkcji kwadratowej

$ f (x) = x^2 + mx + n, $

które brzmi:

Jeżeli funkcja $f(x) = x^2 + mx + n$ mMa pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ , przy czym $x_1 < x_2$ , to w przypadku, gdy $x_1 < x < x_2$ jest $f(x)<0$ , a w przypadku, gdy $x < x_1$ lub $x > x_2$ , jest $f(x)>0$ .

Jeśli więc liczba $x_3$ leży wewnątrz, a liczba $x_4$ zewnątrz przedziału $(x_1, x_2)$ , to pierwsza z wartości

$ (6) \qquad f(x_3) = x^2_3 + mx_3 + n,\ f(x_4) = x_4^2 + mx_4 + n $

jest ujemna, a druga dodatnia, wobec czego

$ (x_3^2 + mx_3 + n) (n_4^2 + mx_4 + n) < 0, $

co prowadzi, jak pokazano w sposobie I, do warunku (5).

Rysunek 24 ilustruje wzajemne położenie parabol będących wykresami danych trójmianów kwadratowych

$ y = x^2 + mx + n \textrm{ i } y = x^2 + px+ q $

o przedzielających się pierwiastkach.

Uwaga 1. Udowodniliśmy wyżej, że jeśli trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste i jeśli pary tych pierwiastków wzajemnie się przedzielają, to spełniona jest nierówrówność (5); nierówność ta daje więc warunek konieczny przedzielania się par pierwiastków trójmianów (1).

Wykażemy, że warunek ten jest dostateczny, tzn. że zachodzi twierdzenie odwrotne:

Jeśli spełniona jest nierówność (5), to trójmiany (1) mają pierwiastki rzeczywiste, a przy tym pary pierwiastków tych trójmianów przedzielają się wzajemnie.

Dowód. Podstawmy do omawianej nierówności (5) wyrażenia $p = -(x_3 + x_4)$ , $q = x_3x_4$ . Otrzymamy nierówność (4), którą wobec wzorów (6) napisać możemy w postaci

$ (7) \qquad f (x_3) \cdot f (x_4) < 0. $

Z nierówności (7) wysnujemy najpierw wniosek, że pierwiastki $x_3$ i $x_4$ są liczbami rzeczywistymi.

Przypuśćmy, że $x_3$ i $x_4$ nie są liczbami rzeczywistymi. Z algebry wiemy, że jeśli pierwiastki funkcji kwadratowej są urojone, to są one liczbami zespolonymi sprzężonymi, tzn. że

$ x_3 = \alpha + i \beta,\ x_4 = \alpha - i \beta, $

gdzie $\alpha$ i $\beta$ są liczbami rzeczywistymi, a $i$ oznacza jednostkę urojoną $(i^2 = - 1)$ .

Obliczmy wartości funkcji $f(x) = x^2 + mx + n$ podstawiając w miejsce $x$ liczby $x_3$ i $x_4$ :

$ f(x_3) = (\alpha + i \beta)^2 + m (\alpha + i \beta) + n = (\alpha^2 - \beta^2 + m\alpha + n) + i (2\alpha \beta + m\beta), $

$ f(x_4) = (\alpha - i \beta)^2 + m (\alpha - i \beta) + n = (\alpha^2 - \beta^2 - m\alpha + n) - i (2\alpha \beta + m\beta). $

Widzimy, że jeśli $x_3$ i $x_4$ są liczbami zespolonymi sprzężonymi, to wartości $f(x_3)$ i $f(x_4)$ są także liczbami zespolonymi sprzężonymi. Iloczyn liczb zespolonych sprzężonych jest liczbą rzeczywistą nieujemną, co widać z równości $(a + bi) (a - bi) = a^2 + b^2$ ; zatem

$ (8) \qquad f(x_3) \cdot f(x_4) \geq 0. $

Przypuszczenie, że $x_3$ i $x_4$ są liczbami urojonymi, doprowadziło do nierówności (8), sprzecznej, z nierównością (7); liczby $x_3$ i $x_4$ są więc rzeczywiste.

Wobec tego z nierówności (7) wynika, że wartości $f(x_3)$ i $f(x_4)$ są liczbami rzeczywistymi o znakach przeciwnych. W takim razie funkcja $f(x) = x^2 + mx + n$ ma pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ , z których jeden leży między liczbami $x_3$ i $x_4$ , a drugi leży zewnątrz przedziału $(x_3, x_4)$ , czego należało dowieść.

Ostatecznie mamy twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, by trójmiany

$ x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q $

( $m$ , $n$ , $p$ , $q$ - liczby rzeczywiste) miały, rzeczywiste i przedzielające ste wzajemne pary pierwiastków, jest nierówność

$ (n - q)^2 + (m - p) (mq - np) < o $

Uwaga 2. Jeśli pary liczb $(x_1, x_2)$ i $(x_3, x_4)$ wzajemnie się przedzielają, to zależnie od tego, która z liczb $x_3$ , $x_4$ leży między liczbami $x_1$ i $x_2$ , bądź różnice $x_3 - x_1$ , $x_3 - x_2$ mają znaki przeciwne, a różnice $x_4 - x_1$ , $x_4 - x_2$ mają znaki jednakowe, bądź rzecz się ma odwrotnie. W obu przypadkach

$ (9) \qquad (x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)(x_4 - x_2) < 0. $

Odwrotnie: jeśli zachodzi nierówność (9), to jeden z iloczynów $(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)$ i $(x_4 - x_1)(x_4 - x_2)$ jest dodatni, a drugi ujemny, zatem pary $(x_1, x_2)$ i $(x_3, x_4)$ wzajemnie się przedzielają.

Warunek (9) można zastąpić warunkiem równoważnym

$ (10) \qquad \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \colon \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} < 0. $

Nierówność (10) wyraża więc warunek konieczny i dostateczny tego, żeby pary liczb $(x_1, x_2)$ i $(x_3, x_4)$ wzajemnie się przedzielały.

Wyrażenie znajdujące się po lewej stronie nierówności (10) odgrywa dużą rolę w rozważaniach matematycznych; nazywa się ono dwustosunkiem uporządkowanej czwórki liczb $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ i oznacza symbolem $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ .

A więc

$ (x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \colon \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} $

Weźmy na osi liczbowej punkty $A_1, A_2, A_3, A_4$ o odciętych $x_1, x_2, x_3, x_4$ .

Dwustosunek czwórki liczb $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ nazywa się także dwustosunkiem uporządkowanej czwórki punktów $A_1, A_2, A_3, A_4$ i oznacza symbolem $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ .

Ponieważ różnice odciętych $x_3 - x_1$ , $x_3 - x_2$ , $x_4 - x_1$ , $x_4 - x_2$ są miarami względnymi wektorów $A_1A_3$ , $A_2A_3$ , $A_1A_4$ , $A_2A_4$ leżących na osi (por. zadanie nr 2 na stronicy 51), przeto

$ (A_1, A_2, A_3, A_4) = \frac{A_1A_3}{A_2A_3} \colon \frac{A_1A_4}{A_2A_4}. $

Widzimy, że dwustosunek $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ jest stosunkiem stosunków, w jakich punkty $A_3$ i $A_4$ dzielą odcinek skierowany $A_1A_2$ .

Gdy $(A_1, A_2, A_3, A_4) < 0$ , pary punktów $(A_1, A_2)$ i $(A_3, A_4)$ przedzielają się.

Gdy $(A_1, A_2, A_3, A_4) > 0$ , pary te nie przedzielają się, tzn. albo jedna para leży wewnątrz drugiej, albo każda para leży zewnątrz drugiej.

W przypadku szczególnym, gdy $(A_1, A_2, A_3, A_4) = - 1$ , tzn. gdy stosunki podziału $\frac{A_1 A_3}{A_2A_3}$ i $\frac{A_1A_4}{A_2A_4}$ są liczbami przeciwnymi, mówimy, że pary $(A_1, A_2)$ i $(A_3, A_4)$ przedzielają się harmonicznie albo że czwórka punktów $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ jest harmoniczna.

Taki przypadek mamy na rysunku 25, na którym

$ \frac{A_1A_3}{A_2A_3} = -2,\ \frac{A_1A_4}{A_2A_4} = 2. $

Pojęciem dwustosunku posługujemy się również w teorii liczb zespolonych.

Jeśli $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ są różnymi liczbami zespolonymi, to

$ (z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \colon \frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}. $

Niech na płaszczyźnie liczb zespolonych liczbom $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ odpowiadają punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ (rys. 26). Dwustosunek czwórki liczb zespolonych $(z_1, z_2, z_3, z_4)$ nazywamy też dwustosunkiem $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ czwórki punktów płaszczyzny liczb zespolonych.

Ponieważ różnice $z_3 - z_1$ , $z_3 - z_2$ , $z_4 - z_1$ , $z_4 - z_2$ przedstawiają wektory $A_1 A_4$ , $A_2A_3$ , $A_1A_4$ , $A_2A_4$ : przeto

$ (A_1, A_2, A_3, A_4) = \frac{A_1A_3}{A_2A_3} \colon \frac{A_1A_4}{A_2A_4}. $

Dwustosunek czwórki punktów płaszczyzny liczb zespolonych jest na ogół liczbą urojoną.

Ciekawe jest, że dwustosunek $(A_1,A_2, A_3,A_4)$ wtedy i tylko wtedy jest liczbą rzeczywistą, gdy punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ leżą na okręgu lub na prostej. Jeśli przy tym pary $(A_1, A_2)$ i $(A_3, A_4)$ wzajemnie się przedzielają, to $(A_1, A_2, A_3, A_4) < 0$ , jeśli zaś nie przedzielają się, to $(A_1, A_2, A_3, A_4) > 0$ .