II OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $AB$ i $AC$ oraz dowolną cięciwę $AD$ ; prosta $AD$ przecina prostą $BC$ w pwnkcie $E$ . Dowieść, że iloczyn $AE \cdot AD$ nie zależy od położenia punktu $D$ na okręgu, tj. że $AE \cdot AD = AC^2$ .

Rozwiązanie

Pisząc żądaną równość w postaci proporcji

$ \frac{AE}{AC} = \frac{AC}{AD} $

spostrzegamy, że równość ta wyraża proporcjonalność dwóch par boków trójkątów $AEC$ i $ACD$ o wspólnym kącie $A$ .

Dowód sprowadza się zatem do wykazania, że trójkąty $AEC$ i $ACD$ są podobne.

Wystarczy w tym celu wskazać jeszcze jedną parę równych kątów w tych trójkątach.

Jeżeli punkt $E$ leży między punktami $B$ i $C$ (rys. 28a), to $\measuredangle D = \measuredangle B$ (gdyż są to kąty wpisane oparte na łuku $AC$ ) i $\measuredangle B = = \measuredangle ACB$ (ponieważ $AC =AB$ ), zatem $\measuredangle D= \measuredangle ACB$ . Jeśli zaś punkt $E$ leży na przedłużeniu odcinka $BC$ (rys. 28 b), to $\measuredangle ADC + \measuredangle B = 180^\circ$ (gdyż są to kąty przeciwległe czworokąta $ABCD$ wpisanego w koło) i $\measuredangle ACE + \measuredangle ACB = 180^\circ$ , a ponieważ $\measuredangle B = = \measuredangle ACB$ , więc $\measuredangle ADC = \measuredangle ACE$ , co było do okazania.

Uwaga. Powyższe zadanie wiąże się z ważnym pojęciem przekształcenia figury przez inwersję.

Niech będzie dany na płaszczyźnie okrąg $O(r)$ , tj. okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ (rys. 32).

Jeśli $A$ jest dowolnym, ale różnym od $O$ punktem płaszczyzny, to punkt $A'$ półprostej $OA$ określony równaniem

$ OA' = \frac{r^2}{OA} $

nazywa się obrazem punktu $A$ w inwersji względem okręgu $O(r)$ .

Ponieważ

$ OA = \frac{r^2}{OA'}, $

więc nawzajem - obrazem punktu $A'$ jest punkt $A$ .

Związek między odcinkami $OA$ i $OA'$ piszemy zwykle w postaci symetrycznej:

$ OA \cdot OA' = r^2. $

Jeżeli $OA = r$ , to $OA' = r$ ; wówczas punkty $A$ i $A'$ pokrywają się. Jeżeli $OA < r$ , to $OA' > r$ i na odwrót.

Gdy dany jest jeden z punktów $A$ i $A'$ , łatwo znaleźć drugi punkt konstrukcyjnie, np. tak, jak pokazuje rysunek 32, na którym $\measuredangle OTA = 90^\circ$ i $OA \cdot OA' = OT^2$ .

Każdy punkt płaszczyzny, z wyjątkiem punktu $O$ , ma określony obraz na tej płaszczyźnie i każdy punkt, z wyjątkiem punktu $O$ , jest obrazem określonego punktu płaszczyzny. Mówimy, że inwersja względem okręgu $O(r)$ jest przekształceniem płaszczyzny bez punktu $O$ na samą siebie.

Przekształcenie to ma wiele ciekawych własności. Ograniczymy się tutaj do wyznaczenia obrazów linii prostych i okręgów, czyli do wyznaczenia figur, na które przy inwersji przechodzą proste i okręgi.

Okrąg o środku $O$ przechodzi na takiż okrąg. W szczególności okrąg $O(r)$ pokrywa się ze swym obrazem, i to w ten sposób, że każdy jego punkt jest swym własnym obrazem. Punkty leżące wewnątrz okręgu $O(r)$ mają obrazy zewnątrz $O(r)$ - i na odwrót.

Obrazem każdej półprostej wychodzącej ze środka $O$ jest ta sama półprosta, ale każdy jej punkt przechodzi przy tym w inny punkt, z wyjątkiem punktu przecięcia półprostej z okręgiem $O(r)$ ; punkt ten pozostaje na miejscu.

Obrazem prostej $m$ nie przechodzącej przez środek $O$ jest okrąg przechodzący przez punkt $O$ , jednak bez samego punktu $O$ ; na odwrót - obrazem takiego ,,przerwanego'' okręgu jest prosta nie przechodząca przez środek $O$ . Dowód tego twierdzenia jest prosty (rys. 33).

Niech obrazami punktów $A$ i $B$ w inwersji względem okręgu $O(r)$ będą punkty $A'$ i $B'$ . Z równości $OA \cdot OA' = OB \cdot OB'$ , która daje proporcję

$ \frac{OA}{OB} = \frac{OB'}{OA'} $

wnioskujemy, że trójkąty $OAB$ i $OB'A'$ są podobne i $\measuredangle OAB = \measuredangle OB'A'$ . Gdy zatem punkt $B$ zakreśla prostą $m$ prostopadłą do prostej $OA$ , wówczas punkt $B'$ zakreśla okrąg $m'$ o średnicy $OA'$ - i na odwrót.

Na rysunku 33a jest $OA > OA'$ i prosta $m$ leży zewnątrz okręgu $m'$ , na rysrnku 33b $OA =OA'$ i linie $m$ i $m'$ są styczne; wreszcie na rysunku 33c jest $OA < OA'$ , prosta $m$ przecina okrąg $m'$ i powstaje taka sama figura, jak w powyższym zadaniu nr 23. Zadanie nr 23 w swej istocie polegało właśnie na wykazaniu, że w inwersji o środku $A$ i promieniu $AC$ (rysunki 28-31) obrazem okręgu przechodzącego przez punkty $A$ , $B$ , $C$ jest prosta $BC$ .

Wykażemy jeszcze, że obrazem okręgu $m$ nie przechodzącego przez środek inwersji $O$ jest okrąg również nie przechodzący przez środek $O$ .

Niech obrazem punktu $A$ okręgu $m$ będzie punkt $A'$ (rys. 34 a) i niech prosta $OA$ przecina okrąg $m$ jeszcze w punkcie $B$ .

Wówczas

$ OA \cdot OA' = r^2 $

oraz

$ OA \cdot OB =k^2 $

(iloczyn odcinków siecznej równa się stałej).

Stąd otrzymujemy

$ OA' = \left( \frac{r}{k} \right)^2 \cdot OB. $

Punkt $A'$ odpowiada zatem punktowi $B$ w jednokładności względem środka $O$ , stosunkiem jednokładności jest liczba $\left( \frac{r}{k} \right)^2$ .

Gdy punkt $A$ , a wraz z nim i punkt $B$ zakreśla okrąg $m$ , punkt $A'$ zakreśla okrąg $m'$ jednokładny z okręgiem $m$ względem punktu $)$ . Okrąg $m'$ jest więc obrazem okręgu $m$ zarówno w jednokładności względem punktu $O$ , jak w inwersji względem okręgu $O(r)$ . Lecz każde z tych przekształceń inaczej przyporządkowuje punkty jednego okręgu punktom drugiego. Np. punktowi $A'$ odpowiada w inwersji punkt $A$ , w jednokładności zaś - punkt $B$ . Środkowi $S$ okręgu $m$ (rys. 34 a) odpowiada w inwersji nie środek okręgu $m'$ , lecz inny punkt $S'$ ; podobnie środkowi $T'$ okręgu $m'$ odpowiada punkt $T$ różny od środka okręgu $m$ . Na rysunkach 34 a, c i d środek $O$ leży zewnątrz, a na rysunku 34 b - wewnątrz okręgu $m$ .

Jeśli okrąg $m$ przecina okrąg inwersji $O(r)$ , to jego obraz $m'$ przecina okrąg $O(r)$ w tych samych punktach.

Ćwiczenie. W jakim przypadku okręgi $m$ i $m'$ pokrywają się?