II OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $A$ i $B$ oraz prosta $m$ przecinająca płaszczyzny $A$ i $B$ . Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $m$ , których końce leżą na płaszczyznach $A$ i $B$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $M$ i $N$ punkty przecięcia prostej $m$ z płaszczyznami $A$ i $B$ , przez $S$ - środek odcinka $MN$ i przez $s$ - prostą przecięcia płaszczyzn $A$ i $B$ . Mamy znaleźć figurę utworzoną przez środki wszystkich odcinków $XY$ równoległych do odcinka $MN$ i mających swe końce $X$ i $Y$ na płaszczyznach $A$ i $B$ .

W tym celu weźmy pod uwagę pęk płaszczyzn o krawędzi $m$ , tj. zbiór wszystkich płaszczyzn przechodzących przez prostą $m$ . Każdy odcinek $XY$ , jako równoległy do prostej $MN$ , leży w którejś z płaszczyzn tego pęku. Szukane miejsce geometryczne wyznaczymy więc, gdy znajdziemy jego punkty w każdej z płaszczyzn pęku. Rozróżnimy dwa przypadki.

1° Niechaj płaszczyzna pęku przecina prostą $s$ w punkcie $P$ , a więc płaszczyzny $A$ i $B$ po prostych $PM$ i $PN$ (rys. 35a). Te z rozważanych odcinków $XY$ , które leżą w płaszczyźnie $MPN$ mają swe końce na prostych $PM$ i $PN$ ; środki $Z$ tych odcinków tworzą zatem prostą $p$ przechodzącą przez punkty $P$ i $S$ .

2° Niechaj płaszczyzna pęku będzie równoległa do prostej $s$ , a więc przecina płaszczyzny $A$ i $B$ po prostych $MK$ i $NL$ równoległych do prostej $s$ (rys. 35b).

Te z rozważanych odcinków $XY$ , które leżą w płaszczyźnie $MKS$ , mają swe końce na prostych $MK$ i $NL$ , a środki $Z$ tych odcinków tworzą prostą $q$ przechodzącą przez punkt $S$ i równoległą do prostej $s$ .

Żądane miejsce geometryczne składa się zatem z punktów wszystkich prostych poprowadzonych przez punkt $S$ do wszystkich punktów $P$ prostej $s$ oraz z punktów prostej $q$ poprowadzonej przez punkt $S$ równolegle do prostej $s$ .

Punkty te tworzą płaszczyznę wyznaczoną przez punkt $S$ i prostą $s$ .

Uwaga. Można by mieć wątpliwości, czy prosta $s$ należy do naszego miejsca geometrycznego, albowiem prosta równoległa do prostej $m$ , poprowadzona z punktu prostej $s$ , przecina obie płaszczyzny $A$ i $B$ w tym samym punkcie i nie ma na tej prostej odcinka $XY$ . W geometrii jednak dogodnie jest wprowadzić umowę, że jeśli punkty $X$ i $Y$ pokrywają się, to tworzą odcinek zerowy, tj. odcinek utworzony z jednego tylko punktu, który w takim razie jest początkiem, końcem i zarazem środkiem tego odcinka.

Przy takiej umowie prosta $s$ należy do wyznaczonego miejsca geometrycznego.