II OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $13^n + 6$ jest podzielna przez $7$ .

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że gdy $n$ jest parzyste, to $13^n$ daje przy dzielniku $7$ resztę $1$ .

Zastosujemy metodę indukcji zupełnej.

Niech $n = 2k$ . Gdy $k = 1$ , twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

$ 13^2 = 169 = 7 \cdot 24 + 1. $

Przypuśćmy, że dla pewnego $k$ zachodzi równość

$ 13^{2k} = 7m + 1, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną.

W takim razie

$ 13^{2(k+1)} = 13^{2k} \cdot 13^2 = (7m + 1) (7 \cdot 24+ 1) = 7 \cdot (169 m + 24) + 1. $

Z tego wnosimy, że twierdzenie j est prawdziwe dla każdego naturalnego $k$ .

Uwaga. Wzór (1) otrzymuje się w łatwy sposób ze wzoru na sumę postępu geometrycznego:

$ 1 + q + q^2 + \ldots + q^{m-1} = \frac{1 - q^m}{1-q},\ q \ne 1 $

Gdy do tego wzoru podstawimy $q = - \frac{a}{b}$ i uwzględnimy, że $m$ jest nieparzyste, otrzymamy po prostych przekształceniach wzór (1). Wymaga to zastrzeżenia, że $b \ne 0$ i $a + b \ne 0$ .

Gdy $b = 0$ lub gdy $a+b=0$ , wzór (1) jest oczywisty.