II OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że jeżeli suma liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ jest równa $1$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9. $

Rozwiązanie

Dzieląc obie strony równości $1=a+b+c$ kolejno przez $a$ , $b$ , $c$ otrzymamy

$\frac{1}{a} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}$

$\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1 + \frac{c}{b}$

$\frac{1}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1$

Zatem

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) + \left( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \right). $

Otóż

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a-b)^2 + 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} + 2. $

Stąd natychmiast wynika, że

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \textrm{ i tak samo } \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2,\ \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2. $

Wobec tego

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \geq 3 + 2 + 2 + 2, \textrm{ czyli } \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9. $

Uwaga 1. Można by zapytać, w jakich przypadkach zachodzi (przy danych założeniach) równość

$ (3) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 9, $

tzn. przy jakich wartościach dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , dających w sumie $1$ , suma odwrotności $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ osiąga swą największą wartość $9$ .

Odpowiedź na to pytanie łatwo wysnuć z każdego z powyższych dowodów. Rozumując sposobem I uzyskamy równość (3) wtedy i tylko wtedy, gdy

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 2, $

tzn. gdy

$ a = b = c = \frac{1}{3}. $

Uwaga 2. Niech $a$ , $b$ , $c$ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Utwórzmy liczby

$ m = \frac{a}{a + b + c},\ n = \frac{b}{a + b + c},\ p = \frac{c}{a + b + c}. $

Ponieważ suma liczb $m$ , $n$ , $p$ równa się $1$ , więc stosując do nich nierówność (1) mamy nierówność

$ \frac{a + b + c}{a} + \frac{a + b + c}{b} + \frac{a + b + c}{c} \geq 9, $

czyli nierówność

$ (a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9, $

którą możemy napisać w postaci

$ (4) \qquad \frac{a + b + c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}. $

Lewa strona nierówności (4) jest średnią arytmetyczną liczb $a$ , $b$ , $c$ , prawa zaś jest odwrotnością średniej arytmetycznej liczb $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ , $\frac{1}{c}$ , czyli średnią harmoniczną liczb $a$ , $b$ , $c$ .

Nierówność (4) wyraża twierdzenie:

Średnia arytmetyczna trzech liczb dodatnich jest co najmniej równa średniej harmonicznej tych liczb.

Równość tych średnich zachodzi tylko w przypadku, gdy $a = b =c$ (patrz uwagę 1).

Twierdzenie (4) o średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej wywnioskowaliśmy z twierdzenia udowodnionego w powyższym zadaniu nr 21. Odwrotnie, to ostatnie twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia (4), gdyż jeśli $a + b + c = 1$ , to z nierówności (4) otrzymujemy nierówność (1). Twierdzenia te są zatem równoważne.