II OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dany jest okrąg $C$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Dowieść, że wspólne cięciwy okręgu $C$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $A$ i $B$ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

Rozwiązanie

Gdy jeden z danych punktów, np. punkt $A$ , leży na okręgu $C$ , twierdzenie jest oczywiste, gdyż wtedy wszystkie cięciwy, o których mowa w twierdzeniu, mają wspólny koniec $A$ .

Przeprowadzimy dowód dla przypadku, gdy żaden z punktów $A$ i $B$ nie leży na danym okręgu $C$ .

Weźmy pod uwagę dwa okręgi $K_1$ i $K_2$ przechodzące przez dane punkty $A$ i $B$ i przecinające okrąg $C$ , pierwszy - w punktach $M$ i $N$ , drugi - w punktach $P$ i $Q$ (rys. 36).

Proste $MN$ i $PQ$ przecinają się. Istotnie, gdyby proste $MN$ i $PQ$ były równoległe, to odcinki $MN$ i $PQ$ , jako równoległe cięciwy okręgu $C$ , miałyby wspólną symetralną przechodzącą przez środek okręgu $C$ . Symetralna ta przechodziłaby też przez środki okręgów $K_1$ i $K_2$ , byłaby zatem również symetralną odcinka $AB$ . Środek okręgu $C$ byłby więc równo oddalony od punktów $A$ i $B$ , wbrew założeniu.

Wykażemy, że punkt przecięcia $S$ prostych $MN$ i $PQ$ leży na prostej $AB$ . W tym celu zauważmy najpierw, że punkt $S$ jest bądź punktem przecięcia cięciw $MN$ i $PQ$ (rys. 36 a), bądź punktem przecięcia przedłużeń tych cięciw (rys. 36 b). W pierwszym przypadku punkt $S$ leży wewnątrz wszystkich trzech okręgów $C$ , $K_1$ i $K_2$ , w drugim przypadku punkt $S$ leży na zewnątrz każdego z tych trzech okręgów.

Rozumowanie poniższe stosuje się do obu przypadków.

Weźmy pod uwagę prostą $SA$ i oznaczmy drugi punkt wspólny tej prostej z okręgiem $K_1$ - przez $B'$ , a drugi punkt wspólny z okręgiem $K_2$ - przez $B''$ . Nie wiemy z góry, czy któryś z punktów $B'$ , $B''$ nie pokrywa się z punktem $A$ , co mogłoby się oczywiście zdarzyć tylko w takim przypadku, jak na rysunku 36 b. Z dalszego rozumowania okaże się, że to nie jest możliwe.

Na podstawie znanego twierdzenia o siecznych okręgu możemy napisać:

$SA \cdot SB' = SM \cdot SN (\textrm{sieczne okręgu } K_1)$

$SA \cdot SB'' = SP \cdot SQ (\textrm{sieczne okręgu } K_2)$

$SM \cdot SN = SP \cdot SQ (\textrm{sieczne okręgu } C)$

Zatem

$ SA \cdot SB' = SA \cdot SB'', $

a stąd

$ SB' = SB''. $

Ponieważ punkty $B'$ i $B''$ zarówno w pierwszym, jak i w drugim przypadku leżą na prostej $SA$ po tej samej stronie punktu $S$ , przeto z otrzymanej równości wynika, że $B'$ i $B''$ są jednym i tym samym punktem - jednym ze wspólnych punktów okręgów $K_1$ i $K_2$ . Punktem tym nie może być $A$ , gdyż oznaczałoby to, że prosta $SA$ jest wspólną styczną okręgów $K_1$ i $K_2$ w punkcie $A$ , co jest niemożliwe, bo okręgi $K_1$ i $K_2$ nie są styczne. Zatem punkty $B'$ i $B''$ pokrywają się z punktem $B$ , a z tego wynika, że punkt $S$ leży na prostej $AB$ .

Ten sam punkt $S$ otrzymamy kreśląc dowolny okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$ i przecinający okrąg $C$ w punktach $P'$ i $Q'$ , albowiem - według powyższego - prosta $P'Q'$ przecina prostą $MN$ w punkcie prostej $AB$ , tzn. w punkcie $S$ .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga 1. Gdy punkty $A$ , $B$ są równo oddalone od środka okręgu $C$ , wtedy wspólne cięciwy okręgu $C$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $A$ , $B$ są równoległe do prostej $AB$ , gdyż figura będzie symetryczna względem symetralnej odcinka $AB$ .

Uwaga 2. Rozumowanie przeprowadzone wyżej dla okręgów $K_1$ i $K_2$ może być zastosowane również wtedy, gdy jeden z tych okręgów lub nawet oba są styczne do okręgu $C$ - z tą odmianą, że zamiast siecznej $MN$ lub $PQ$ rozważać należy wspólną styczną okręgów $C$ i $K_1$ lub okręgów $C$ i $K_2$ . Owe wspólne styczne przechodzą przez wyznaczony powyżej punkt $S$ prostej $AB$ .

Uwaga 3. Twierdzenie, które wyżej udowodniliśmy powołując się na twierdzenie o siecznych okręgu, można wysnuć jako prosty wniosek z własności osi potęgowej dwóch okręgów. Objaśnimy to podając pokrótce potrzebne wiadomości.

Niech będzie dany okrąg $O(r)$ , tzn. okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ , oraz punkt $P$ leżący w płaszczyźnie okręgu w odległości $d$ od punktu $O$ . Liczba

$ d^2 -r^2 $

nazywa się potęgą punktu $P$ względem okręgu $O(r)$ . Liczba ta jest dodatnia, ujemna lub równa zeru odpowiednio dla punktów leżących zewnątrz okręgu, wewnątrz okręgu lub na okręgu.

Posługując się miarami względnymi odcinków skierowanych na osi $PO$ (rys. 37) mamy

$ PO = d,\ - OA =0B =r. $

Zatem

$ d^2 - r^2 = (d - r) (d + r) = (PO + OA) (PO + OB) = PA \cdot PB. $

Poprowadźmy przez punkt $P$ prostą przecinającą okrąg w punktach $M$ i $N$ . Według znanego twierdzenia mamy

$ PM \cdot PN = PA \cdot PB. $

Zachodzi więc równość

$ d^2 - r^2 = PM \cdot PN. $

Równość ta wyraża twierdzenie:

Potęga punktu $P$ względem okręgu równa się iloczynowi miar względnych odcinków dowolnej siecznej okręgu przechodzącej przez punkt $P$ , skierowanych od punktu $P$ do punktów przecięcia siecznej z okręgiem.

W wysłowieniu tego twierdzenia można miary względne odcinków skierowanych zastąpić długościami odcinków zmieniając jednocześnie wyraz potęga na wyrazy: wartość bezwzględna potęgi.

Weźmy pod uwagę dwa niewspółśrodkowe okręgi $O_1(r_1)$ i $O_2(r_2)$ na płaszczyźnie; niech $O_1O_2 = a$ (rys. 38). Wykażemy, że na prostej $O_1O_2$ istnieje jeden i tylko jeden taki punkt $H$ , którego potęgi względem danych okręgów są równe, tj.

$ O_1H^2 - r_1^2 = HO_2^2 - r_2^2. $

Napiszmy powyższą równość w postaci

$ (1) \qquad O_1H^2 - HO_2^2 = r_1^2 - r_2^2. $

Jeśli $O_1H$ i $HO_2$ oznaczają miary względne odcinków na osi $O_1O_2$ , to

$ (2) \qquad O_1H + HO_2 = a. $

Dzieląc równości (1) i (2) stronami otrzymujemy

$ (3) \qquad O_1H - HO_2 = \frac{r_1^2 - r_2^2}{a}. $

Z równań (2) i (3) możemy obliczyć $O_1H$ i $HO_2$ :

$ O_1H = \frac{1}{2} \left( a + \frac{r_1^2 - r_2^2}{a} \right),\ HO_2 = \frac{1}{2} \left( a - \frac{r_1^2 - r_2^2}{a} \right). $

Wartości te spełniają warunek (1) i wyznaczają jednoznacznie punkt $H$ . Wynika z tego natychmiast twierdzenie:

Miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny, których potęgi względem dwóch okręgów niewspółśrodkowych są równe, jest prosta prostopadła do linii środków tych okręgów i przechodząca przez wyżej określony punkt $H$ tej linii.

Istotnie, jeśli $A$ jest dowolnym punktem płaszczyzny, a $K$ - rzutem punktu $A$ na prostą $O_1O_2$ (rys. 38), to

$ AO_1^2 - r_1^2 = AK^2 + O_1K^2 - r_1^2 $

$ AO_2^2 - r_2^2 = AK^2 + KO_2^2 - r_2^2 $

z czego widzimy, że równość potęg

$ AO_1^2 - r_1^2 = AO_2^2 - r_2^2 $

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość potęg

$ O_1K^2 - r_1^2 = KO_2^2 - r_2^2, $

tzn. gdy punkt $K$ pokrywa się z wyznaczonym poprzednio punktem $H$ . Żądanym miejscem geometrycznym jest zatem prosta $p$ poprowadzona przez punkt $H$ prostopadle do prostej $O_1O_2$ .

Prosta $p$ nazywa się osią potęgową okręgów $O_1(r_1)$ i $O_2(r_2)$ .

Punkt wspólny dwóch okręgów należy do osi potęgowej tych okręgów, gdyż ma względem każdego z nich potęgę równą zeru. A zatem oś potęgowa okręgów przecinających się przechodzi przez ich punkty przecięcia, a oś potęgowa okręgów stycznych jest ich wspólną styczną w punkcie styczności; natomiast oś potęgowa okręgów nie mających punktów wspólnych leży na zewnątrz obu okręgów.

Jeśli środki trzech okręgów nie leżą na jednej prostej, to trzy osie potęgowe trzech par z tych okręgów przechodzą przez jeden punkt, zwany środkiem potęgowym trzech okręgów.

Istotnie, owe trzy osie potęgowe, jako prostopadłe do trzech boków trójkąta utworzonego przez środki okręgów, przecinają się parami; punkt przecięcia dwóch osi potęgowych ma równe potęgi względem wszystkich trzech okręgów, więc leży również na trzeciej osi potęgowej.

Twierdzenie o środku potęgowym pozwala łatwo wykreślić oś potęgową dwóch okręgów nie mających punktów wspólnych.

Kreślimy okrąg pomocniczy przecinający dane okręgi i wyznaczamy środek potęgowy trzech okręgów; leży on na szukanej osi potęgowej.

Na rysunku 39 wysnaczono dwa punkty $S$ i $T$ poszukiwanej osi potęgowej $p$ przy użyciu dwóch okręgów pomocniczych.

Jeżeli środki trzech okręgów są różnymi punktami i leżą na jednej prostej, to trzy osie potęgowe trzech par z tych okręgów są bądź trzema prostymi równoległymi, bądź pokrywają się i tworzą jedną prostą.

Powróćmy do twierdzenia z zadania nr 22 i do rysunku 36. Dowód tego twierdzenia możemy obecnie ująć krótko:

Wszystkie okręgi $K_1, K_2, \ldots$ przechodzące przez punkty $A$ i $B$ mają wspólną oś potęgową - prostą $AB$ . Osią potęgową okręgów $K_1$ i $C$ jest prosta $MN$ . Punkt przecięcia $S$ prostych $AB$ i $MN$ jest środkiem potęgowym okręgów $C$ , $K_1$ i dowolnego okręgu $K_2$ przechodzącego przez punkty $A$ i $B$ . Jeśli okrąg $K_2$ przecina okrąg $C$ w punktach $P$ i $Q$ , to prosta $PQ$ , jako oś potęgowa okręgów $C$ i $K_2$ , przechodzi przez punkt $S$ , czego należało dowieść.

Udowodnione twierdzenie pozwala rozwiązać prostym sposobem zadanie konstrukcyjne:

Wykreślić okrąg styczny do danego okręgu $C$ i przechodzący przez dwa dane punkty $A$ i $B$ .

Gdy punkty $A$ i $B$ nie są równo oddalone od środka okręgu $C$ , kreślimy okrąg pomocniczy przechodzący przez punkty $A$ i $B$ i przecinający okrąg $C$ w punktach $M$ i $N$ . Wyznaczamy punkt przecięcia $S$ prostych $AB$ i $MN$ . Z punktu $S$ prowadzimy styczną do okręgu $C$ . Jeśli punkt styczności $T$ tej stycznej z okręgiem $C$ nie leży na prostej $AB$ , to okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $T$ jest okręgiem żądanym.

Gdy punkty $A$ i $B$ są równo oddalone od środka okręgu $C$ , wówczas punkt $T$ otrzymamy w przecięciu symetralnej odcinka $AB$ z okręgiem $C$ .

Zadanie może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie, lub nie mieć żadnego rozwiązania.

Szczegółowa dyskusja (której wysnucie z poprzednich rozważań pozostawiamy jako ćwiczenie) daje wynik następujący:

1° W przypadku, gdy punkty $A$ i $B$ leżą wewnątrz okręgu $C$ , a także w przypadku, gdy punkty $A$ i $B$ leżą zewnątrz okręgu $C$ , ale prosta $AB$ nie jest styczna do okręgu - zadanie ma dwa rozwiązania.

2° Gdy punkty $A$ i $B$ leżą zewnątrz okręgu $C$ i prosta $AB$ jest styczna do tego okręgu, zadanie ma jedno rozwiązanie.

3° Gdy jeden z punktów $A$ i $B$ leży na okręgu $C$ , a drugi punkt leży bądź wewnątrz tego okręgu, bądź zewnątrz niego, ale tak, że prosta $AB$ nie jest styczna do okręgu - zadanie ma jedno rozwiązanie.

4° We wszystkich pozostałych przypadkach, tzn. w przypadku, gdy jeden z punktów $A$ i $B$ leży na okręgu $C$ , a drugi na stycznej do tego okręgu w pierwszym punkcie, a także w przypadku, gdy jeden punkt leży wewnątrz okręgu $C$ , a drugi zewnątrz tego okręgu, wreszcie w przypadku, gdy oba punkty $A$ i $B$ leżą na danym okręgu $C$ - zadanie nie ma rozwiązania.