II OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków o danej długości $a$ , których końce leżą na dwóch prostych wzajemnie prostopadłych (przecinających się lub skośnych).

Rozwiązanie

A. Niech $m$ i $n$ będą dwiema prostymi prostopadłymi przecinającymi się w punkcie $O$ (rys. 40).

Niech punkt $S$ będzie środkiem odcinka $MN$ o długości $a$ i o końcach położonych na prostych $m$ i $n$ . W prostokącie $OMPN$ (który redukuje się do odcinka $MN$ , gdy $M$ lub $N$ pokrywa się z $O$ ) mamy

$ OS = SM = \frac{1}{2}a $

Punkt $S$ leży zatem na okręgu leżącym w płaszczyźnie prostych $m$ i $n$ , mającym środek $O$ i promień $\frac{1}{2} a$ .

Odwrotnie, niech $S$ będzie punktem tego okręgu, tj. niech $OS = \frac{1}{2} a$ . Punkt $S$ jest wtedy środkiem pewnego odcinka o długości $a$ i o końcach, leżących na prostych $m$ i $n$ . Odcinek ten otrzymamy odmierzając na przedłużeniu odcinka $OS$ odcinek $SP = OS$ i budując prostokąt $OMPN$ ; wówczas

$ MN = 0P = 2 \cdot OS =a. $

W przypadku, gdy punkt $S$ leży na jednej z danych prostych, prostokąt $OMPN$ redukuje się do odcinka $OP$ .

Wykazaliśmy, że jeśli proste $m$ i $n$ przecinają się, to poszukiwanym miejscem geometrycznym jest okrąg leżący w płaszczyźnie danych prostych, mający środek $O$ i promień $\frac{1}{2} a$ .

{\kom B.} Rozważmy z kolei przypadek, kiedy proste $m$ i $n$ są skośne. Niechaj najkrótsza odległość tych prostych równa się $d$ .

Na rysunku najdogodniej przedstawić proste $m$ i $n$ za pomocą rzutów prostokątnych na dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe. Za rzutnię poziomą obierzemy płaszczyznę $a$ równoległą do obu prostych $m$ i $n$ , a za rzutnię pionową - dowolną płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny $a$ . Rzutami poziomymi prostych $m$ i $n$ są wówczas proste $m'$ i $n'$ wzajemnie prostopadłe, a rzutami pionowymi - proste równoległe $m''$ i $n''$ , których odstęp równa się $d$ .

Rzuty te przedstawione są na rysunku 41. Punkty $P$ i $Q$ prostych $m$ i $n$ , których wspólnym rzutem poziomym jest punkt przecięcia rzutów $m'$ i $n'$ , wyznaczają najkrótszą odległość $PQ$ prostych $m$ i $n$ . Środek $O$ odcinka $PQ$ ma rzuty: $O' = P' = Q'$ , $O''$ jest środkiem odcinka $P''Q''$ .

Połączmy punkt $M$ prostej $m$ z punktem $N$ prostej $n$ . Rzuty środka $S$ odcinka $MN$ znajdują się w środkach $S'$ i $S''$ rzutów $M'N'$ i $M''N''$ tego odcinka. Rzeczywistą długość odcinka $MN$ wyznaczymy z jego rzutów budując trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $M'N'$ i $N'N_0 = d$ ; przeciwprostokątna $M'N_0$ równa się odcinkowi $MN$ .

Jeśli $MN =a$ , to

$ M'N' = \sqrt{M'N^2_0 - N'N^2_0} =\sqrt{a^2 - d^2}. $

Gdy odcinek $MN$ ślizga się swymi końcami po prostych $m$ i $n$ zachowując stałą długość $a$ , wówczas odcinek $M'N'$ , jak widać z powyższego wzoru, również zachowuje stałą długość $\sqrt{a^2 - d^2}$ .

Wobec tego miejscem geometrycznym środka $S'$ odcinka $M'N'$ jest okrąg $k'$ zatoczony z punktu $O'$ promieniem $\frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2}$ .

Gdy punkt $S'$ zakreśla okrąg $k'$ , punkt $S''$ zakreśla odcinek $k''$ prostej równo odległej od prostych $m''$ i $n''$ , punkt $S$ zaś zakreśla okrąg $k$ , którego rzutami są $k'$ i $k''$ . Okrąg ten jest poszukiwanym miejscem geometrycznym; leży on w płaszczyźnie równo odległej od prostych $m$ i $n$ ; środek jego znajduje się w punkcie $O$ , a promień równa się $\frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2}$ .

Uwaga. Rozważanie przypadku B możemy też przeprowadzić na rysunku wykonanym w rzucie równoległym ukośnym. Za płaszczyznę rzutów obierzemy płaszczyznę określoną przez jedną z danych prostych skośnych $m$ i $n$ , np. prostą $m$ , i przez odcinek $PQ$ - najkrótszą odległość prostych $m$ i $n$ . Rzuty punktów i prostych na tę płaszczyznę oznaczać będziemy dla większej prostoty tymi samymi literami, co owe punkty i proste.

Rysujemy prostą $m$ i prostopadły do niej odcinek $PQ$ o długości $d$ (rys. 42). Za rzut prostej $n$ możemy obrać dowolną prostą przechodzącą przez punkt $Q$ . Niech $MN$ będzie dowolnym odcinkiem o długości $a$ , którego końce leżą odpowiednio na prostych $m$ i $n$ , $S$ - środkiem tego odcinka, $O$ - środkiem odcinka $PQ$ .

Poprowadźmy przez punkt $P$ prostą $r$ równoległą do prostej $n$ i weźmy pod uwagę rzut prostokątny odcinka $MN$ na płaszczyznę $(m, r)$ prostych $m$ i $r$ . Ponieważ $PQ \bot m$ i $PQ \bot r$ , przeto odcinek $PQ$ jest prostopadły do płaszczyzny $(m,r)$ .

Wobec tego rzut prostokątny $N'$ punktu $N$ na tę płaszczyznę otrzymamy prowadząc z punktu $N$ równoległą do prostej $PQ$ aż do przecięcia z prostą $r$ . Rzut prostokątny $S'$ punktu $S$ znajdujemy podobnie prowadząc z punktu $S$ równoległą do prostej $PQ$ aż do przecięcia z prostą $MN'$ ; punkt $S'$ jest środkiem odcinka $MN'$ .

W trójkącie prostokątnym $MNN'$ mamy $MN = a$ , $NN' = d$ , zatem

$ MN' = \sqrt{ MN^2 - NN'^2} = \sqrt{a^2 - d^2}. $

Gdy odcinek $MN$ o stałej długości $a$ ślizga się swymi końcami po prostych $m$ i $n$ , odcinek $MN'$ zachowuje stałą długość $\sqrt{a^2 - d^2}$ . Wobec tego miejscem geometrycznym punktu $S'$ jest okrąg o środku $P$ i promieniu $PS' = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2}$ , leżący w płaszczyźnie $(m, r)$ .

Punkt $S$ otrzymuje się przez przesunięcie równoległe punktu $S'$ w kierunku prostopadłym do płaszczyzny $(m, r)$ o długość $SS' = PO= \frac{1}{2}d$ .

Zatem jeżeli proste $m$ i $n$ są skośne, to miejscem geometrycznym punktu $S$ jest okrąg o środku $O$ i promieniu $\frac{1}{2} \sqrt{ a^2 - d^2}$ , leżący w płaszczyźnie równoległej do obu prostych $m$ i $n$ .

W rzucie równoległym ukośnym na płaszczyznę $MPQ$ oba miejsca geometryczne są elipsami. Elipsy te wykreślone zostały na rysunku 43 wykonanym, jak następuje: Elipsę $E_1$ wykreśono jako rzut równoległy okręgu $K$ o promieniu $PU = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2}$ obierając za rzuty dwóch prostopadłych promieni $PU$ i $PV$ tego okręgu odcinki $PU$ i $PW$ . Elipsę $E_2$ otrzymano przez przesunięcie równoległe elipsy $E_1$ o wektor $PO$ .