II OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ \left\{ \begin{array}{l} xy = ax + by\\ yz =ay + bz\\ zx = az + bx. \end{array} \right. $

Rozwiązanie

Rozróżnimy przypadki następujące:

1° $a = 0$ , $b = 0$ . Układ równań (1) przybiera wtedy postać

$ xy = 0,\ yz = 0,\ zx = 0, $

z czego widać, że dwie spośród niewiadomych $x$ , $y$ , $z$ muszą być równe zeru, trzecia zaś może mieć wartość dowolną.

2° $a \ne 0$ , $b = 0$ . Układ równań (1) przybiera wtedy postać

$ xy = ax,\ yz = ay,\ zx = az. $

Napiszmy pierwsze z tych równań w postaci $x (y - a) =0$ . Widzimy, że zachodzą dwie możliwości:

a) $x = 0$ . Trzecie równanie daje wówczas $z = 0$ , a następnie drugie równanie daje $y = 0$ , a więc ostatecznie $x = y = z = 0$

b) $y = a$ . Z drugiego równania wynika wówczas $z = a$ , a następnie z trzeciego równania otrzymujemy $x = a$ , a więc $x = y = z = a$ .

3° $a = 0$ , $b \ne 0$ . Analogicznie do przypadku 2° otrzymujemy dwa rozwiązania:

a) $x = y = z = 0$

b) $x = y = z = b$

4° $a \ne 0$ , $b \ne 0$ . Napiszmy pierwsze równanie układu (1) w postaci

$ y (x - b) = ax. $

Zauważmy, że $x - b \ne 0$ , gdyby bowiem było $x - b = 0$ , to z równania powyższego wynikałoby, że $ax = 0$ , a ponieważ $a \ne 0$ , więc $x = 0$ , a wobec tego $b = 0$ , wbrew założeniu.

Podzielmy obie strony poprzedniego równania przez $x - b$ :

$ (4) \qquad y = \frac{ax}{x-b}. $

Podobnie też z trzeciego równania układu (1) wynika, że $x - a \ne 0$ . Dzieląc obie strony tego równania przez $x - a$ otrzymujemy

$ (5) \qquad z = \frac{bx}{x-a}. $

Podstawiając zamiast $y$ i $z$ wartości (4) i (5) do drugiego równania układu (1) otrzymujemy równanie

$ \frac{abx^2}{(x - a) (x - b)} = \frac{a^2x}{x - b} + \frac{b^2x}{x - a}. $

Mamy znów dwie możliwości:

a) $x = 0$ . Wzory (4) i (5) dają wówczas $y = 0$ , $z = 0$ , a więc $x = y = z = 0$ .

b) $x \ne 0$ . Możemy wtedy obie strony poprzedniego równania podzielić przez $x$ :

$ \frac{abx}{(x - a) (x - b)} = \frac{a^2}{x-b} + \frac{b^2}{x-a}. $

Mnożąc obie strony przez $(x - a) (x - b)$ i porządkując równanie otrzymujemy

$ (a^2 - ab + b^2) x = a^3 + b^3. $

Podobnie jak w sposobie I, mamy $x = a + b$ i ze wzorów (4) i (5) otrzymujemy $y = a + b$ , $z = a+ b$ , a więc ostatecznie $x = y = z = a + b$ .