II OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że jeżeli $A + B + C = 180^\circ$ , a $n$ jest liczbą nieparzystą, to

$ (1) \qquad \sin nA + \sin nB + \sin nC = 4 \cdot (- 1)^{\frac{n-1}{2}} \cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2}. $

Rozwiązanie

Na podstawie znanych wzorów trygonometrycznych mamy

$ (2) \qquad \sin nA + \sin nB + \sin nC = 2 \sin \frac{n(A+B)}{2} \cos \frac{n(A-B)}{2} +2 \sin \frac{nC}{2}\cos \frac{nC}{2}. $

Niech $n = 2k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Z równości $A + B + C = 180^\circ$ wynika, że

$ nA + nB + nC = k \cdot 360^\circ + 180^\circ, $

$ \frac{n (A + B)}{2} = k \cdot 180^\circ + 90^\circ - \frac{nC}{2}. $

Stąd

$ (3) \qquad \sin \frac{n(A+B)}{2} = (- 1)^k \sin \left(90^\circ - \frac{nC}{2} \right) = (- 1)^k \cos \frac{nC}{2} $

i podobnie

$ (4) \qquad \sin \frac{nC}{2} = (- 1)^k \cos \frac{n(A+b)}{2}. $

Podstawiając wyrażenia (3) i (4) do prawej strony równości (2) otrzymujemy

$ \sin nA + \sin nB + \sin nC = 2 \cdot (-1)^k \cos \frac{nC}{2} \left[ \cos \frac{n (A-B)}{2} + \cos \frac{n (A+B)}{2} \right], $

a po przekształceniu wyrażenia w nawiasie mamy

$ \sin nA + \sin nB + \sin nC = 4 \cdot (- 1)^k \cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2}, $

tj. wzór (1), gdyż $k = \frac{n-1}{2}$ .

W szczególności przy $n = 1$ otrzymujemy znany wzór dla kątów trójkąta $ABC$ :

$ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}. $