Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

II OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

II

W trójkącie prostokątnym $ABC$ z wierzchołka kąta prostego $C$ poprowadzono wysokość $CD$ i w każdy z trójkątów $ABC$ , $ACD$ i $BCD$ wpisano okrąg. Wykazać, że suma promieni tych okręgów równa się wysokości $CD$ .

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia wskazane na rysunku 52 a; promienie kół wpisanych w trójkąty $ABC$ , $BCD$ , $CAD$ oznaczmy odpowiednio przez $r$ , $r_1$ , $r_2$ .

Ponieważ trójkąty prostokątne $ABC$ , $CBD$ , $ACD$ są podobne, to promienie kół wpisanych w te trójkąty prostokątne są proporcjonalne do ich przeciwprostokątnych:

$<br /> r_1 \colon r_2 \colon r = a \colon b \colon c.<br />$

Stąd

$<br /> \frac{r_1 + r_2 + r}{a + b + c} = \frac{r}{c}<br /> \textrm{ i }<br /> r_1 + r_2 + r = \frac{(a + b + c)r}{c}.<br />$

Iloczyn obwodu trójkąta przez promień koła wpisanego w trójkąt równa się podwojonemu polu trójkąta, a więc

$<br /> (a + b + c) r = ch.<br />$

Podstawienie do poprzedniego wzoru daje

$<br /> r_1 + r_2 + r = h,<br />$

czego właśnie należało dowieść.

Uwaga. Poprowadźmy prostopadłe $LL_1$ i $KK_1$ do prostej $AB$ . Ponieważ

$<br /> L_1D = LP = r_1,<br />$

więc aby wyznaczyć środek $O_1$ koła wpisanego w trójkąt $ADC$ , odmierzamy na prostej $L_1L$ odcinek $L_1O_1$ równy $r_1$ .

Biorąc pod uwagę, że $L_1M = LQ = r_2$ , widzimy, że trójkąt $MO_1L_1$ jest przystający do trójkąta $CLP$ , wobec czego $MO_1 = r$ .

Podobnie środek $O_2$ koła wpisanego w trójkąt $BDC$ leży na prostej $K_1K$ , przy czym $MO_2 = r$ .

Trzy środki $O_1$ , $O_2$ , $O$ kół wpisanych w trójkąty $ADC$ , $BDC$ , $ABC$ leżą więc na okręgu o środku $M$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1767