II OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

W trójkącie $ABC$ na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ obrano odpowiednio punkty $D$ , $E$ , $F$ w taki sposób, że

$ BD \colon DC = CE \colon EA = AF \colon FB = k, $

gdzie $k$ jest daną liczbą dodatnią. Mając dane pole $S$ trójkąta $ABC$ obliczyć pole trójkąta $DEF$ .

Rozwiązanie

Posługując się symbolem $\triangle$ na oznaczenie pola trójkąta mamy (rys. 54):

$ (1) \qquad \triangle DEF = S - (\triangle AFE + \triangle BDF + \triangle CED), $

gdzie $S = \triangle ABC$ .

Otóż

$\triangle AFE = \frac{1}{2} AF \cdot AE \cdot \sin A,$

$AF = \frac{k}{k+1} \cdot AB,$

$AE = \frac{1}{k+1} \cdot AC,$

więc

$ \triangle AFE = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A, $

a ponieważ $\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = S$ , przeto

$ (2) \qquad \triangle AFE = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S. $

Tak samo

$ (3) \qquad \triangle BDF = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S,\ \triangle CED = \frac{k}{(k+1)^2} \cdot S. $

Zatem według wzoru (1) mamy

$ (4) \qquad \triangle DEF = S - \frac{3k}{(k+1)^2} \cdot S = \frac{k^2 - k + 1}{(k+1)^2} \cdot S. $

Uwaga. Rozumowanie powyższe można by nieco skrócić stosując twierdzenie, że pola trójkątów mających wspólny kąt mają się do siebie jak iloczyny boków zawierających ten kąt. Otrzymujemy od razu:

$ \frac{\triangle AFE}{S} = \frac{AE \cdot AF}{AC \cdot AB} = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{k}{k+1} = \frac{k}{(k+1)^2}, $

tj. wzór (2).