II OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że równanie

$ \frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1, $

gdzie $m \ne 0$ , $n \ne 0$ , $a \ne b$ , ma pierwiastki rzeczywiste ( $m$ , $n$ , $a$ , $b$ oznaczają liczby rzeczywiste).

Rozwiązanie

Przepiszmy dane równanie w postaci

$ (1) \qquad \frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} - 1 = 0. $

Zakładając, że $x \ne a$ i $x \ne b$ , pomnóżmy dane równanie przez $(a - x) (b - x)$ ; otrzymamy wówczas równanie

$ (2) \qquad m^2 (b - x) + n^2 (a - x) - (a - x) (b - x) = 0. $

Równania (1) i (2) są równoważne, tzn. są spełnione przez te same wartości $x$ . Dla wartości $x$ różnych od $a$ i od $b$ wynika to z faktu, że lewa strona równania (2) jest iloczynem lewej strony równania (2) przez różną od zera liczbę $(a - x) (b - x)$ .

Liczby zaś $a$ i $b$ nie spełniają żadnego z tych równań: kiedy bowiem $x = a$ lub $x = b$ , wówczas lewa strona równania (1) traci sens, a lewa strona równania (2) przybiera wartość $m^2 (b - a)$ lub wartość $n^2 (a - b)$ , obie różne od zera wobec założenia, że $m \ne 0$ , $n \ne 0$ , $a \ne b$ .

Możemy więc w dalszych rozważaniach zastąpić równanie (1) równaniem (2).

Lewa strona równania (2) jest funkcją kwadratową zmiennej $x$ :

$ \varphi (x) = m^2 (b - x) + n^2 (a - x) - (a - x) (b - x). $

Funkcja $\varphi (x)$ przybiera dla $x = a$ i $x=b$ odpowiednio wartości:

$ \varphi (a) = m^2 (b - a) \textrm{ i } \varphi (b) = n^2 (a - b). $

Wartości te są przeciwnych znaków; wynika z tego, że funkcja $\varphi(x)$ , a więc i równanie (2) ma jeden pierwiastek rzeczywisty leżący między liczbami $a$ i $b$ oraz drugi pierwiastek rzeczywisty leżący zewnątrz tego przedziału.

Uwaga. Czytelnikom, którzy mają wiadomości z geometrii analitycznej, wyjaśnimy związek, jaki zachodzi między powyższym zadaniem a pewnymi własnościami krzywych stopnia drugiego.

W tym celu napiszemy równanie (1) przy użyciu innych liter:

$ \frac{x^2}{a - \lambda} + \frac{y^2}{b - \lambda} - 1 = 0 $

Niech $x$ i $y$ oznaczają współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, $a$ i $b$ - dwie liczby nierówne, $\lambda$ - zmienny parametr.

Rozważmy, jakie krzywe przedstawia równanie (I) przy różnych wartościach parametru $\lambda$ . Przyjmiemy, że $a > b$ (gdy $a < b$ , rozważania są analogiczne).

1° Jeżeli $\lambda < b$ , to $a - \lambda> 0$ i $b - \lambda > 0$ . Równanie (I) jest wówczas równaniem osiowym elipsy o półosiach $\sqrt{a - \lambda}$ i $\sqrt{b - \lambda}$ .

2° Jeżeli $b < \lambda < a$ , to $a - \lambda > 0$ , $b - \lambda < 0$ . Równanie (I) jest wówczas równaniem osiowym hiperboli o półosi rzeczywistej $\sqrt{a - \lambda}$ i półosi urojonej $\sqrt{\lambda - b}$ .

3° Jeżeli $\lambda > a$ , równanie (I) nie jest spełnione przez żadne, rzeczywiste wartości $x$ i $y$ ; mówimy wówczas, że równanie to przedstawia krzywą urojoną.

W dalszym ciągu będziemy brali pod uwagę tylko wartości $\lambda < a$ .

Krzywe przedstawione równaniem (I) mają ciekawą własność: wszystkie te krzywe mają te same ogniska. Istotnie, połowa odległości między ogniskami, którą oznaczymy przez $c$ , równa się dla elipsy pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy kwadratów półosi, a dla hiperboli - pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów półosi. W przypadku 1° mamy więc

$ c = \sqrt{(a - \lambda) - (b - \lambda)} = \sqrt{a - b}, $

a w przypadku 2° mamy też

$ c = \sqrt{(a - \lambda) + (\lambda - b)} = \sqrt{a - b}, $

co oznacza, że $c$ ma wartość stałą, niezależną od $\lambda$ .

Mówimy, że równanie (I) przy zmiennym parametrze $\lambda$ przedstawia rodzinę stożkowych współogniskowych.

Nadajmy współrzędnym $x$ i $y$ określone wartości liczbowe różne od zera i uważajmy równanie (I) za równanie o niewiadomej $\lambda$ . Ponieważ $a \ne b$ , spełnione są założenia zadania nr 30 i wiemy z rozwiązania tego zadania, że równanie (I) ma wtedy dwa różne pierwiastki rzeczywiste $\lambda_1$ i $\lambda_2$ .

Otrzymujemy zatem następujące twierdzenie jako interpretację geometryczną twierdzenia algebraicznego z zadania nr 30:

Przez każdy punkt płaszczyzny nie leżący na osi $x$ ani na osi $y$ przechodzą dwie krzywe z rodziny (I) stożkowych współogniskowych.

Nie trudno sig przekonać, że jedna z tych krzywych jest elipsą, a druga hiperbolą.

W samej rzeczy, jeśli równanie (I) zastąpimy równaniem równoważnym

$ x^2 (b - \lambda) + y^2 (a - \lambda) - (a - \lambda) (b - \lambda) = 0, $

to stwierdzimy, że lewa strona, tego równania przybiera dla $\lambda = a$ wartość ujemną $x^2 (b - a)$ , a dla $\lambda = b$ wartość dodatnią $y^2 (a - b)$ ; zatem jeden z pierwiastków $\lambda_1$ , $\lambda_2$ tego równania jest mniejszy niż $b$ (pierwiastek ten daje elipsę), drugi zaś pierwiastek zawiera się między $b$ i $a$ (i daje hiperbolę).

Rysunek 55 przedstawia kilka krzywych takiej rodziny. Wspólnymi ich ogniskami są punkty $F_1$ i $F_2$ .

Elipsa i hiperbola rodziny (I) przechodzące przez ten sam punkt płaszczyzny przecinają się w tym punkcie pod kątem prostym. Dowód tego twierdzenia nie nastręczy żadnych trudności czytelnikowi, który wie, jak napisać równanie stycznej do krzywej (I) w danym jej punkcie. Mówimy, że rodzina stożkowych współogniskowych jest siecią ortogonalną krzywych (wyraz "ortogonalny" oznacza: prostokątny).