II OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że jeżeli równania

$ (1) \qquad x^2 + mx + n = 0 \textrm{ i } x^2 + px + q = 0 $

mają wspólny pierwiastek, to między współczynnikami tych równań zachodzi związek

$ (2) \qquad (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0. $

Rozwiązanie

Jeżeli któryś z pierwiastków $x_1$ , $x_2$ pierwszego z danych równań (1) równa się któremuś z pierwiastków drugiego równania, to któraś z różnic $x_1 - x_3$ , $x_2 - x_3$ , $x_1 - x_4$ , $x_2 - x_4$ równa się zeru. Zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (x_1 - x_3) (x_2 - x_3) (x_1 - x_4) (x_2 - x_4) = 0. $

Jeżeli wykonamy mnożenie po lewej stronie tej równości i zastosujemy związki między współczynnikami a pierwiastkami równań (1), mianowicie $x_1 + x_2 - m$ , $x_1x_2 =n$ , $x_3 + x_4 = -p$ , $x_3x_4 = q$ , to otrzymamy

$ (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0. $

Uwaga. Twierdzenie dowiedzione w tym zadaniu orzeka, że równość (2) jest warunkiem koniecznym tego, aby równania (1) miały wspólny pierwiastek. Łatwo wykazać, że jest to również warunek dostateczny, tzn. że prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: jeżeli zachodzi równość (2), to równania (1) mają wspólny pierwiastek.

Istotnie, jeśli w równości (2) podstawimy $m = - (x_1 + x_2)$ , $n = x_1x_2$ , $p = - (x_3 + x_4)$ , $q = x_3x_4$ , otrzymamy (patrz wyżej sposób II) równość

$ (x_1 - x_3) (x_2 - x_3) (x_1 - x_4) (x_2 - x_4) = 0, $

z której wynika, że któraś z różnic $x_1 - x_3$ , $x_2 - x_3$ , $x_1 - x_4$ , $x_2 - x_4$ równa się zeru, a więc jeden z pierwiastków pierwszego z danych równań (1) jest równy jednemu z pierwiastków drugiego równania.

Rozumowanie powyższe zakłada istnienie pierwiastków równań (1), co jest bez zastrzeżeń słuszne w dziedzinie liczb zespolonych. Natomiast jeżeli będziemy rozważali tylko pierwiastki rzeczywiste równań (1) o współczynnikach rzeczywistych, to twierdzenie musi ulec modyfikacji. Z równości (2) wynika wprawdzie, że któryś z pierwiastków $x_3$ , $x_4$ równa się któremuś z pierwiastków $x_1$ , $x_2$ , ale pierwiastki te mogłyby być liczbami urojonymi. Wiemy jednak (patrz zadanie lU 17 na stronicy 87), że pierwiastki każdego z równań (1) byłyby w tym przypadku liczbami zespolonymi sprzężonymi; jeśliby więc np. było $x_3 = x_1$ , to równe byłyby także liczby sprzężone $x_4 = x_2$ i dane równania (1) byłyby jednakowe.