Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

II OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

II

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $A$ i $B$ trójkąta $ABC$ zachodzi związek

$<br /> (1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br />$

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

Rozwiązanie

Przekształcamy równość (1) podstawiając zamiast $\sin (A - B)$ i $\sin (A + B)$ znane ich rozwinięcia i pisząc tę rówrjość w postaci proporcji

$<br /> \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin A \cos B + \cos A \sin B},<br />$

skąd po łatwym rachunku wynika proporcja

$<br /> (2) \qquad \frac{a^2}{b^2} = \frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B}.<br />$

Zastępujemy teraz stosunek boków stosunkiem sinusów kątów przeciwległych:

$<br /> \frac{\sin^2 A}{\sin^2 B} = \frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B}.<br />$

Stąd otrzymujemy:

$<br /> \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A},<br /> textrm{ czyli }<br /> \sin A \cos A = \sin B \cos B<br />$

i wreszcie

$<br /> (3) \qquad \sin 2A = \sin 2B.<br />$

Ponieważ $2A < 360^\circ$ i $2B < 360^\circ$ , przeto z równości (3) wynika, że kąty $2A$ i $2B$ bądź są równe, bądź dają w sumie $180^\circ$ .

1° Jeżeli $2A = 2B$ , to $A = B$ i trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

2° Jeżeli $2A + 2B = 180^\circ$ , to $A + B = 90^\circ$ i trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1771