II OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dane są punkty $A$ i $B$ oraz okrąg $k$ . Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $k$ wspólną cięciwę o danej długości $d$ .

Rozwiązanie

Analiza. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia środka $X$ wspólnej cięciwy okręgu danego i okręgu poszukiwanego; mając bowiem punkt $X$ możemy wykreślić w danym okręgu $k$ cięciwę $CD$ o środku $X$ i poprowadzić okrąg przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Miejscem geometrycznym środków $X$ cięciw okręgu $k$ mających daną długość $d$ jest okrąg $k'$ współśrodkowy z okręgiem $k$ i mający promień $\sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}}$ , gdzie $r$ oznacza promień okręgu $k$ . Należy przy tym zastrzec, że $d \leq 2r$ .

1° Jeżeli dane punkty $A$ i $B$ są równo oddalone od środka $O$ okręgu $k$ (rys. 57), to okrąg szukany przecina okrąg $k$ w punktach symetrycznych względem symetralnej odcinka $AB$ , a więc punkt $X$ znajdziemy w przecięciu tej symetralnej z okręgiem $k'$ .

2° Jeżeli $A$ i $B$ nie są równo oddalone od punktu $O$ (rys. 58), to wszystkie wspólne cięciwy okręgu $k$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $A$ i $B$ leżą na prostych, które przecinają prostą $AB$ w tym samym punkcie $M$ (patrz zadanie nr 22 na stronicy 105). Punkt $M$ możemy znaleźć wykreślając przez punkty $A$ i $B$ dowolny okrąg pomocniczy $l$ przecinający okrąg $k$ . Punkt $X$ znajdziemy w przecięciu okręgu $k'$ z okręgiem o średnicy $OM$ , który jest miejscem geometrycznym środków wymienionych cięciw.

Konstrukcja. Wykreślamy w znany sposób okrąg $k'$ .

W przypadku 1° kreślimy symetralną odcinka $AB$ . Przez punkt przecięcia $X$ tej symetralnej z okręgiem $k'$ prowadzimy cięciwę $CD$ okręgu $k$ prostopadłą do prostej $O$ . Wykreślamy wreszcie okrąg przez punkty $A$ , $B$ , $C$ ; okrąg ten przejdzie też przez punkt $D$ , jako przez punkt symetryczny do punktu $C$ względem prostej $OX$ . Wykreślony okrąg ma z okręgiem $k$ wspólną cięciwę $CD$ o długości $d$ , jęst więc okręgiem poszukiwanym w zadaniu.

W przypadku 2° prowadzimy przez punkty $A$ i $B$ dowolny okrąg $l$ przecinający okrąg $k$ w punktach $P$ i $Q$ . Prosta $PQ$ przecina prostą $AB$ w punkcie $M$ . Wykreślamy okrąg o średnicy $OM$ .

Jeśli $X$ jest punktem przecięcia tego okręgu z okręgiem $k'$ , to prosta $MX$ przecina koło $k$ po cięciwie $CD$ o długości $d$ . Prowadzimy teraz okrąg przez punkty $A$ , $B$ , $C$ ; okrąg ten przejdzie też przez punkt $D$ , gdyż $MA \cdot MB = MP \cdot MQ$ , $MP \cdot MQ = MC \cdot MD$ , więc $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ . Będzie to okrąg poszukiwany w zadaniu.

Dyskusja. Zbadamy wykonalność konstrrkcji i ilość rozwiązań zadania w zależności od wyboru danych. Zauważyliśmy już, że zadanie można rozwiązać tylko wtedy, gdy dana długość $d$ spełnia warunek $d \leq 2r$ , gdzie $r$ jest to promień danego okręgu $k$ .

Zakładając, że nierówność ta jest spełniona, rozważymy wszystkie przypadki, jakie mogą się zdarzyć.

I. Środek $O$ okręgu $k$ leży na symetralnej odcinka $AB$ .

$ (Ia) \qquad d <2r. $

Symetralna odcinka $AB$ przecina okrąg $k'$ w dwóch punktach $X_1$ i $X_2$ , istnieją więc dwie cięciwy $C_1D_1$ i $C_2D_2$ okręgu $k$ mające długość $d$ i kierunek prostej $AB$ .

Jeśli prosta $AB$ nie pokrywa się z żadną z prostych $C_1D_1$ i $C_2D_2$ , tzn. jeśli odległość prostej $AB$ od punktu $O$ nie równa się $\sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}}$ , zadanie ma dwa rozwiązania.

Jeśli prosta $AB$ pokrywa się np. z prostą $C_1D_1$ , ale punkty $A$ i $B$ nie leżą na okręgu $k$ , tzn. nie pokrywają się z punktami $C_1$ i $D_1$ , zadanie ma jedno rozwiązanie, mianowicie okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $C_2$ , $D_2$ .

Jeśli wreszcie punkty $A$ i $B$ pokrywają się z punktami $C_1$ i $D_1$ , rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez, punkty $A$ i $B$ , z wyjątkiem samego okręgu $k$ .

$ (Ib) \qquad d = 2r. $

W tym przypadku okrąg $k'$ redukuje się do punktu $O$ , punkt $X$ pokrywa się również z punktem $O$ , w okręgu $k$ istnieje jedna cięciwa $CD$ o długości $d$ i kierunku prostej $AB$ .

Jeśli prosta $AB$ nie przechodzi przez punkt $D$ , zadanie ma jedno rozwiązanie.

Jeśli prosta $AB$ przechodzi przez punkt $O$ , ale punkty $A$ i $B$ nie leżą na okręgu $k$ , zadanie nie ma rozwiązania.

Jeśli wreszcie odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $k$ , rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$ , z wyjątkiem okręgu $k$ .

II. Środek okręgu $k$ nie leży na symetralnej odcinka $AB$ .

$ (IIa) \qquad d < 2r. $

Jeśli prosta $AB$ leży zewnątrz okręgu $k'$ , tzn. jeśli jej odległość od punktu $O$ jest większa od $\sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}}$ , to punkt $M$ leży również zewnątrz okręgu $k'$ . Okrąg o średnicy $OM$ przecina okrąg $k'$ w dwóch punktach $X_1$ i $X_2$ . Proste $MX_1$ i $MX_2$ wyznaczają w okręgu $k$ cięciwy $C_1D_1$ i $C_2D_2$ o długości $d$ . Zadanie ma dwa rozwiązania: okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $C_1$ , $D_1$ i okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $C_2$ , $D_2$ .

Jeśli prosta $AB$ jest styczna do okręgu $k'$ w punkcie $T$ , a punkt $M$ jest różny od punktu $T$ , to okrąg o średnicy $OM$ przecina okrąg $k'$ w dwóch punktach $T$ i $X$ . W tym przypadku jest tylko jedno rozwiązanie: okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ oraz przez punkty $C$ , $D$ , w których prosta $MX$ przecina okrąg $k$ .

Jeśli prosta $AB$ jest styczna do okręgu $k'$ , a punkt $M$ pokrywa się z punktem styczności $T$ , to rozwiązania nie ma. Przypadek ten zachodzi, gdy punkt $T$ leży wewnątrz odcinka $AB$ , a średnia geometryczna odcinków $AT$ i $BT$ równa się $\frac{1}{2} d$ .

Jeśli wreszcie prosta $AB$ przecina okrąg $k'$ , zadanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie ma żadnego rozwiązania, zależnie od tego, czy punkt $M$ leży zewnątrz okręgu $k'$ , na tym okręgu lub wewnątrz okręgu $k'$ .

$ (IIb) \qquad d = 2r. $

W tym przypadku punkt $X$ pokrywa się z punktem $O$ .

Jeśli prosta $AB$ nie przechodzi przez punkt $O$ , to prosta $MO$ przecina okrąg $k$ w dwóch punktach $C$ i $D$ . Zadanie ma wtedy jedno rozwiązanie: okrąg przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Jeśli prosta $AB$ przechodzi przez punkt $O$ , a punkt $M$ jest różny od punktu $O$ , to prosta $MO$ przecina okrąg $k$ w punktach $C$ i $D$ prostej $AB$ i zadanie nie ma rozwiązania.

Jeśli wreszcie punkt $M$ prostej $AB$ pokrywa się z punktem $O$ , rozwiązaniem zadania jest każdy okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$ . Przypadek ten zachodzi wówczas, gdy punkt $O$ leży wewnątrz odcinka $AB$ , a promień $r$ okręgu $k$ jest średnią geometryczną odcinków $OA$ i $OB$ .

Uwaga. W powyższym zadaniu liczba $d$ , jako długość odcinka, jest liczbą dodatnią. Możemy jednak rozważać przypadek ,,graniczny'' tego zadania biorąc $d = 0$ , co daje zadanie:

Przez dwa dane punkty $A$ i $B$ poprowadzić okrąg styczny do danego okręgu $k$ .

Sposób rozwiązania pozostaje ten sam - z tą różnicą, że okrąg $k'$ jest w tym przypadku identyczny z okręgiem $k$ .

Dyskusję łatwo wysnuć z dyskusji przeprowadzonej wyżej dla przypadku $d < 2r$ .

Zadanie to omawialiśmy przy zadaniu nr 22 na stronicy 112.