II OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) \geq 6abc. $

Rozwiązanie

Zastosujemy przekształcenie

$ \begin{split} ab (a + & b) + bc (b + c) + ca (c + a) - 6abc = a (b^2 + c^2) - 2abc + b (c^2 + a^2) + \\ & - 2abc + c (a^2 + b^2) - 2abc = a (b - c)^2 + b (c - a)^2 + c (a - b)^2. \end{split} $

Otrzymaliśmy sumę trzech liczb nieujemnych, a zatem liczbę nieujemną; z tego natychmiast wynika nierówność podana w zadaniu.

Uwaga 2. Nierówność (1) można uogólnić. Niech $a_1, a_2, \ldots, a_n$ oznaczają liczby dodatnie. Odrzucając po kolei jedną z tych liczb tworzymy $n$ wyrazów, które spełniają nierówność:

$ \begin{split} a_2 & a_3 \cdot \ldots \cdot a_n (a_2 + a_3 + \ldots + a_n) + a_3a_4 \cdot \ldots \cdot a_na_1 (a_3 + a_4 + \ldots + a_n + a_1) +\\ & + \ldots + a_{n-1}a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-2} (a_{n-1} + a_1 + \ldots + a_{n-2}) \geq n(n - 1) a_1a_2 \cdot \ldots \cdot a_n. \end{split} $