II OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

III

W okrąg wpisano czworokąt $ABCD$ . Proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $E$ , a proste $AD$ i $BC$ - w punkcie $F$ . Dwusieczna kąta $AEC$ przecina bok $BC$ w punkcie $M$ i bok $AD$ w punkcie $N$ ; a dwusieczna kąta $BFD$ przecina bok $AB$ w punkcie $P$ i bok $CD$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że czworokąt $MPNQ$ jest rombem.

Rozwiązanie

Pomijając na razie warunek, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na okręgu, weźmy pod uwagę dowolny czworokąt wypukły $ABCD$ , w którym przedłużenia boków $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $E$ , a przedłużenia boków $AD$ i $BC$ - w punkcie $F$ .

Poprowadźmy dwusieczne $EO$ i $FO$ kątów $E$ i $F$ oraz odcinek $EF$ w taki sposób, jak wskazuje rysunek 66, i rozważmy trójkąty $EAF$ , $ECF$ , $EOF$ o wspólnej podstawie $EF$ .

Każdy z kątów przy podstawie $EF$ w trójkącie $EOF$ jest średnią arytmetyczną kątów trójkątów $EAF$ i $ECF$ przy tym samym wierzchołku; wynika z tego, że trzeci kąt $x$ trójkąta $EOF$ jest również średnią arytmetyczną pozostałych kątów $\alpha$ i $\gamma$ trójkątów $EAF$ i $ECF$ :

$ x = \frac{\alpha + \gamma}{2}. $

Do tego samego wniosku dojść można również w sposób następujący:

Z dowolnego punktu $M$ (rys. 67) poprowadźmy półproste $a_1$ , $b_1$ , $c_1$ , $d_1$ , $e_1$ , $f_1$ mające odpowiednio kierunki półprostych $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ według oznaczeń rysunku 66.

Ponieważ $e_1$ jest dwusieczną kąta między $a_1$ i $c_1$ , a $f_1$ - dwusieczną kąta między $d_1$ i $b_1$ , przeto kąt między półprostymi $e_1$ i $f_1$ jest średnią arytmetyczną kąta między półprostymi $a_1$ i $d_1$ i kąta między półprostymi $c_1$ i $b_1$ , co zapiszemy:

$ \measuredangle (e_1, f_1) = \frac{1}{2} [\measuredangle (a_1,d_1) + \measuredangle (c_1, b_1)]. $

Lecz $\measuredangle (e_1, f_1) = \measuredangle (e, f)$ , $\measuredangle (a_1, d_1) = \measuredangle (a, d)$ , $\measuredangle (c_1, b_1) = \measuredangle (c, b)$ , zatem

$ \measuredangle (e,f) = \frac{1}{2} [\measuredangle (a,d) + \measuredangle (c,b) ]. $

Otrzymaliśmy, jak łatwo sprawdzić, tę samą równość, co poprzednio.

Załóżmy teraz, że czworokąt $ABCD$ jest wpisany w koło (rys. 68).

W takim razie $\alpha + \gamma = 180^\circ$ i poprzednia równość daje

$ x = \frac{1}{2} (\alpha + \gamma) = 90^\circ. $

To oznacza, że przekątne czworokąta $MPNQ$ są prostopadłe.

Zauważmy, że wobec tego w trójkącie $PEQ$ dwusieczna $EO$ kąta $E$ jest prostopadła do boku $PQ$ , trójkąt $PEQ$ jest więc równoramienny, a punkt $O$ jest środkiem odcinka $PQ$ . Analogicznie punkt $O$ jest środkiem odcinka $MN$ .

Czworokąt $MPNQ$ , którego przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe, jest zatem rombem, czego właśnie należało dowieść.