II OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Dany jest okrąg oraz odcinek $MN$ . Znaleźć na okręgu taki punkt $C$ , żeby trójkąt $ABC$ , gdzie $A$ i $B$ są punktami przecięcia prostych $MC$ i $NC$ z okręgiem, był podobny do trójkąta $MNC$ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli punkty $M$ i $N$ leżą na danym okręgu $k$ , to każdy punkt $C$ okręgu, z wyjątkiem punktów $M$ i $N$ , czyni zadość warunkowi zadania; punkty $A$ i $B$ pokrywają się wówczas z punktami $M$ i $N$ , a trójkąt $ABC$ - z trójkątem $MNC$ . W dalszym ciągu przypadek ten pominiemy i założymy, że przynajmniej jeden z punktów $M$ i $N$ nie leży na okręgu $k$ .

Jeśli $C$ jest punktem żądanym, to dla trójkątów podobnych $ABC$ i $MNC$ , mających równe kąty przy wierzchołku $C$ , musi zachodzić któryś z przypadków:

$ \measuredangle A = \measuredangle M,\ \measuredangle B = \measuredangle N. \textrm{ (rozwiązanie pierwszego rodzaju)} $

\kom II.

$ \measuredangle A = \measuredangle N,\ \measuredangle B = \measuredangle M \textrm{ (rozwiązanie drugiegp rodzaju)}. $

Gdy trójkąty są równoramienne, oba przypadki zachodzą jednocześnie.

I. Poszukiwanie rozwiązań pierwszego rodzaju

W rozwiązaniach pierwszego rodzaju boki $AB$ i $MN$ trójkątów $ABC$ i $MNC$ są równoległe, z czego wynika, że bądź oba punkty $M$ i $N$ leżą na odcinkach $AC$ i $BC$ , bądź oba leżą na przedłużeniach tych odcinków. Zadanie nasze może mieć zatem rozwiązanie pierwszego rodzaju tylko wtedy, gdy punkty $M$ i $N$ leżą oba wewnątrz lub oba zewnątrz danego okręgu $k$ .

Podamy dwa sposoby znalezienia takich rozwiązań.

\spos{I} Jeśli punkt $C$ jest punktem o żądanej własności (rys. 69), to trójkąty $ABC$ i $MNC$ są jednokładne względem punktu $C$ . W tej jednokładności okręgowi $k$ , przechodzącemu przez środek jednokładności $C$ i przez punkty $A$ i $B$ , odpowiada okrąg $l$ styczny do okręgu $k$ w punkcie $C$ i przechodzący przez punkty $M$ i $N$ jednokładne do punktów $A$ i $B$ .

Zadanie sprowadza się więc do wykreślenia okręgu przechodzącego przez dane punkty $M$ i $N$ i stycznego do danego okręgu $k$ .

Konstrukcja takiego okręgu była już omówiona przy zadaniu nr 22 na stronicy 112 i przy zadaniu nr 33 na stronicy 152.

Gdy wykreślimy okrąg $l$ , wówczas punkt $C$ , w którym styka się on z okręgiem $k$ , będzie punktem żądanym. Istotnie, proste $MC$ i $NC$ przecinają okrąg $k$ jednokładny do okręgu $l$ względem punktu $C$ - w punktach $A$ i $B$ odpowiadających punktom $M$ i $N$ . Trójkąty $ABC$ i $MNC$ są jednokładne, przy czym $\measuredangle A = \measuredangle M$ , a $\measuredangle B = \measuredangle N$ .

Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest okręgów przechodzących przez punkty $M$ i $N$ i stycznych do okręgu $k$ . A zatem (patrz uwagę 2 do zadania nr 22 na stronicy 108):

1° Jeżeli punkty $M$ i $N$ leżą oba wewnątrz okręgu $k$ albo jeżeli oba leżą zewnątrz okręgu $k$ , ale prosta $MN$ nie jest styczna do tego okręgu, to zadanie ma dwa rozwiązania.

2° Jeżeli punkty $M$ i $N$ leżą zewnątrz okręgu $k$ , a prosta $MN$ jest styczna do tego okręgu, to zadanie ma jedno rozwiązanie.