III MEMO - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

III MEMO, 2009

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R$ warunek

$ (1) \qquad f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)). $

Uwaga: $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Sposób

Zauważmy, że funkcja stała, równa 0 spełnia warunek (1). Załóżmy, że $f(a)\neq0$ dla pewnego $a\in\mathbb R$ . Udowodnimy, że wówczas funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Przypuśćmy, że $f(y)=f(z)$ dla pewnych $y,z\in\mathbb{R}$ . Stosując dwukrotnie (1), otrzymujemy wtedy

$ \begin{split} zf(x)&=&f(xf(z))+f(f(x)+f(z))-f(x+f(z))=\\ &=&f(xf(y))+f(f(x)+f(y))-f(x+f(y))=yf(x), \end{split} $

więc $yf(x)=zf(x)$ . Podstawienie $x=a$ prowadzi do $y=z$ , a tym samym dowodzi, że $f$ jest różnowartościowa.

Wstawmy $x=0$ i $y=1$ do (1). Wtedy $f(0)+f(f(0)+f(1))=f(0)+f(f(1))$ , czyli $f(f(0)+f(1))=f(f(1))$ . Z różnowartościowości $f$ wynika, że $f(0)+f(1)=f(1)$ , a stąd $f(0)=0$ .

Wykonajmy kolejne podstawienie, $y=0$ , w równaniu (1). Otrzymujemy $f(f(x))=f(x)$ dla wszystkich $x\in\mathbb R$ i na podstawie różnowartościowości $f$ dochodzimy do wniosku, że $f(x)=x$ dla wszystkich $x\in\mathbb R$ . Nietrudno sprawdzić, że taka funkcja spełnia (1).

Podsumowując, warunki zadania spełniają tylko dwie funkcje: funkcja stała $f(x)=0$ i funkcja identycznościowa $f(x)=x$ dla $x\in\mathbb R$ .

Sposób

Lemat. Istnieje liczba rzeczywista $x$ , dla której $f(x)=0$ .

Dowód lematu. Niech $a=f(0)$ . Rozważmy dwa przypadki:

Przypadek 1.: $a\neq 1$ .

Wtedy wstawiamy $y=0$ do (1) i otrzymujemy $f(xa)+f(f(x)+a)=f(x+a)$ . Stąd, dla $x=\frac{a}{a-1}$ , zachodzi $xa=x+a$ , więc $f(f(x)+a)=0$ .

Przypadek 2.: $a=1$ .

Wtedy rozważamy następujące podstawienia w (1):

$ x=0, y=1;\quad x=f(1), y=0. $

Prowadzą one do odpowiednio:

$ 1+f(1+f(1))=1+f(f(1));\quad f(f(1))+f(f(f(1))+1)=f(f(1)+1). $

W konsekwencji $f(f(f(1))+1)=0$ , co kończy dowód lematu.

Korzystając z powyższego lematu, znajdujemy liczbę $a$ , dla której $f(a)=0$ . Podstawienie $x=y=a$ w (1) prowadzi do $f(0)+f(0)=0+0$ , a zatem $f(0)=0$ .

Wstawiamy $f(0)=0$ i $y=0$ do (1) i otrzymujemy

$ (2) \qquad f(f(x))=f(x). $

Załóżmy, że $f$ nie jest funkcją zerową, tzn. istnieje liczba $c\neq0$ , dla której $f(x)=c$ . Wtedy, ze względu na (2), $f(c)=c$ . Wstawiając $x=c$ do (1) otrzymujemy $f(cf(y))+f(c+f(y))=cy+f(c+f(y))$ , a stąd $f(cf(y))=cy$ . Ostatnia równość i (2) prowadzi do

$ cy=f(cf(y))=f(f(cf(y)))=f(cy). $

Powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego $y\in\mathbb R$ , więc możemy ją zapisać jako $f(x)=x$ dla wszystkich $x\in\mathbb R$ .

Wykazaliśmy zatem, że jeśli $f$ spełnia (1), to $f$ jest funkcją zerową lub funkcją identycznościową. Nietrudno sprawdzić, że obie te funkcje spełniają warunki zadania.