III MEMO - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

III MEMO, 2009

Dane są liczby rzeczywiste $x$ , $y$ , $z$ , spełniające zależność $x^2+y^2+z^2+9 = 4(x+y+z)$ . Dowieść, że

$ (1) \qquad x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2)\geq8(x^3+y^3+z^3)+27 $

oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy założenia, po dodaniu $6(x^2+y^2+z^2+9)$ do lewej strony, zaś $24(x+y+z)$ do prawej strony nierówności (1), otrzymujemy równoważną nierówność

$ x^4+y^4+z^4+22(x^2+y^2+z^2)+27\geq8(x^3+y^3+z^3)+24(x+y+z). $

Nietrudno sprawdzić, że jest ona równoważna

$ (2) \qquad (x-1)^2(x-3)^2+(y-1)^2(y-3)^2+(z-1)^2(z-3)^2\geq0, $

co jest oczywiście prawdą. Tym samym dowiedliśmy (1).

Równość w (2) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x,y,x\in\{1,3\}$ .

Sposób II

Przy założeniu $x^2+y^2+z^2+9=4(x+y+z)$ można po prostych przekształceniach zapisać nierówności (1) równoważnie jako

$ (3) \qquad (x-2)^4+(y-2)^4+(z-2)^4\geq3, $

zaś samo założenie jako

$ (4) \qquad (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=3. $

Korzystając z nierówności między średnią kwadratową a średnia arytmetyczną dla liczb $a=(x-2)^2$ , $b=(y-2)^2$ , $c=(z-2)^2$ , otrzymujemy

$ \begin{split} \sqrt[3]{\frac{(x-2)^4+(y-2)^4+(z-2)^4}3}=\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}3}\geq\\ \geq\frac{a+b+c}3=\frac{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2}3, \end{split} $

a stąd i z (4) otrzymujemy tezę (3).

Wiadomo, że w powyższej nierówności między średnimi równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a=b=c$ , więc równość otrzymujemy tylko gdy $(x-2)^2=(y-2)^2=(z-2)^2$ . Zatem w (1) równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $|x-2|=|y-2|=|z-2|=1$ , lub równoważnie $x,y,x\in\{1,3\}$ .