III MEMO - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

III MEMO, 2009

Czworokąt $ABCD$ wpisany jest w okrąg, przy czym $CD=DA$ . Na odcinkach $AB$ i $BC$ wybrano punkty odpowiednio $E$ i $F$ , dla których $\measuredangle ADC=2\measuredangle EDF$ . Odcinek $DK$ jest wysokością trójkąta $DEF$ , zaś $DM$ jego środkową. Punkt $L$ jest symetryczny do $K$ względem $M$ . Wykazać, że proste $DM$ oraz $BL$ są równoległe.

Rozwiązanie

Niech $N$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej $DE$ . Wtedy

$ \measuredangle CDN=\measuredangle CDA-\measuredangle ADN=2\measuredangle EDF-2\measuredangle EDN=2\measuredangle FDN $

i $ND=AD=CD$ , więc $N$ jest również obrazem punktu $C$ w symetrii względem prostej $DF$ . Stąd otrzymujemy następujące pary trójkątów przystających: $\triangle ADE\equiv\triangle NDE$ oraz $\triangle CDF\equiv\triangle NDF$ . W konsekwencji

$ \measuredangle END+\measuredangle DNF=\measuredangle EAD+\measuredangle DCF=\measuredangle BAD+\measuredangle DCB=180^\circ, $

i wnioskujemy, że $N$ należy do odcinka $EF$ .

Niech $d(X,YZ)$ oznacza odległość punktu $X$ od prostej $YZ$ . Wówczas

$ \begin{split} d(D,BE)&=d(D,AE)=d(D,NE)=d(D,FE)=\\ &=d(D,FN)=d(D,FC)=d(D,FB), \end{split} $

przy czym ostatnie dwie równości wynikają z przystawania odpowiednich trójkątów.

Zatem punkt $D$ znajduje się w takiej samej odległości od wszystkich trzech prostych zawierających boki trójkąta $BEF$ , jest więc środkiem okręgu dopisanego do trójkąta $BEF$ . Okrąg ten jest styczny do $EF$ w punkcie $K$ . Z własności okręgu wpisanego i dopisanego, okrąg wpisany w trójkąt $BEF$ jest styczny do $EF$ w punkcie $L$ .

Oznaczmy przez $P$ odbicie symetryczne punktu $K$ względem $D$ . Istnieje jednokładność o środku $B$ , w której obrazem okręgu wpisanego w trójkąt $BEF$ jest okrąg dopisany, więc punkty $B$ , $L$ , $P$ są współliniowe. Aby zakończyć dowód, wystarczy zauważyć, że $DM\|PL$ , a jest to prosty wniosek z twierdzenia Talesa ( $KL/KM=2=KP/DP$ ).