III MEMO - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

III MEMO, 2009

Znaleźć wszystkie pary $(m,n)$ liczb całkowitych, spełniające równanie

$ (m+n)^4=m^2n^2+m^2+n^2+6mn. $

Rozwiązanie

Sposób I

Równanie możemy zapisać równoważnie jako

$ (m+n)^4-m^2n^2=(m+n)^2+4mn. $

Po podstawieniu $x=m+n$ i $y=mn$ , powyższe równanie przybiera postać

$ x^4-x^2=y^2+4y, $

lub równoważnie

$ x^4-x^2+4=(y+2)^2. $

Z faktu, że $x^4-x^2+4>x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$ dla wszystkich $x$ , oraz $x^4-x^2+4<(x^2)^2$ gdy $|x|>2$ , wnioskujemy, że jeżeli $|x|>2$ , wówczas

$ (x^2-1)^2<(y+2)^2<(x^2)^2. $

Jednak takiej zależności nie spełniają żadne liczby całkowite $x$ i $y$ . Zatem równania może mieć rozwiązanie jedynie gdy $x\in\{0,1,-1,2,-2\}$ . Sprawdzimy każdy z przypadków tych za pomocą prostych rachunków.

Dla $x=0$ , otrzymujemy $y=0$ lub $y=-4$ . W pierwszym przypadku rozwiązaniem jest $(m,n)=(0,0)$ , zaś w drugim $(m,n)=(2,-2)$ i $(m,n)=(-2,2)$ .

Dla $x=\pm1$ zachodzi $y=0$ lub $y=-4$ . Gdy $y=0$ , rozwiązaniami są pary $(0,\pm1)$ , $(\pm 1, 0)$ , a gdy $y=-4$ , wtedy nie znajdziemy żadnego rozwiązania $(m,n)$ .

Jeżeli $x=\pm2$ , to $y=2$ lub $y=-6$ i wówczas nie ma żadnych rozwiązań.

Odpowiedź: Szukane pary to: $(0,0)$ , $(2,-2)$ , $(-2,2)$ , $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ .

Sposób II

Dla $n=0$ otrzymujemy $m^4=m^2$ , czyli $m\in\{-1,0,1\}$ . W tym przypadku rozwiązaniami są pary: $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ . Dla $m=0$ rozwiązania są oczywiście takie same.

Załóżmy teraz, że $m\neq 0$ i $n\neq 0$ . Równanie równoważnie można zapisać jako

$ \begin{split} (m^4+4m^3n+5m^2n^2+4mn^3+n^4)-(m^2+6mn+n^2)=\\=(m^2+3mn+n^2)(m^2+mn+n^2)-(m^2+6mn+n^2), \end{split} $

więc $m^2+nm+n^2$ jest dzielnikiem $5mn$ .

Niech $d=\gcd(m,n)$ , $a=m/d$ i $b=n/d$ , gdzie $a$ i $b$ są względnie pierwsze. Wtedy

$ (1) \qquad a^2+ab+b^2\mid 5ab. $

Zauważmy jednak, że $\gcd(a^2+ab+b^2,a)=\gcd(b^2,a)=1$ i analogicznie $\gcd(a^2+ab+b^2,b)=1$ , więc $\gcd(a^2+ab+b^2,ab)=1$ . Stąd i z (1)

$ a^2+ab+b^2\mid5, $

co oznacza, że $a^2+ab+b^2-c=0$ dla $c\in\{1,-1,5,-5\}$ .

Wyróżnikiem powyższego równania względem zmiennej $a$ jest $\Delta=4c-3b^2$ , więc rozwiązania mogą istnieć tylko dla $c=1$ lub $c=5$ , a ze względu na to, że szukamy rozwiązań całkowitych, $4c-3b^2$ musi być kwadratem.

Widzimy, że dla $c=5$ musi zachodzić $b=\pm1,\pm2$ , ale wtedy liczba $4c-3b^2$ nie jest kwadratem. Dla $c=1$ jedynie dla $b=\pm1$ wyrażenie $4c-3b^2$ jest kwadratem i wtedy $a=-b$ . Stąd $m=-n$ i równanie upraszcza się do $m^4-4m^2=0$ . Zatem $m=\pm2$ i otrzymujemy rozwiązania $(m,n)=(2,–2)$ i $(m,n)=(–2,2)$ .

Podsumowując, rozwiązaniami równania są pary: $(0,0)$ , $(2,-2)$ , $(-2,2)$ , $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ .