III MEMO - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

III MEMO, 2009

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad 2^x+2009=3^y5^z $

w liczbach całkowitych nieujemnych $x$ , $y$ , $z$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $x\geq2$ i $y+z\geq1$ . Porównując obie strony równania (1) kolejno modulo 4, 3 i 5, otrzymujemy: $1\equiv(-1)^y\pmod4$ , więc $y$ jest liczbą parzystą; jeżeli $y>0$ , to $(-1)^x+2\equiv0\pmod3$ i $x$ jest liczbą parzystą; jeśli $z>0$ , to $2^x-1\equiv0\pmod5$ i $x$ jest liczbą parzystą. Zatem liczba $x$ jest parzysta, bo na pewno $y>0$ lub $z>0$ .

Niech $x=2x'$ i $y=2y'$ . Przypuśćmy, że $z$ jest nieparzyste. Wtedy

$ 3^y5^z\equiv9^{y'}5^z\equiv2^{y_1}(-2)^z\equiv r_1\pmod7\quad\text{dla }r_1\in\{3,5,6\} $

oraz

$ 2^x+2009\equiv4^{x'}\equiv r_2\pmod7\quad\text{dla }r_2\in\{1,2,4\}. $

Nie jest możliwe by $r_1=r_2$ , więc, rozważając równanie (1) modulo 7, dochodzimy do sprzeczności. Z tego wynika, że $z$ musi być liczbą parzystą.

Niech $z=2z'$ . Równanie (1) możemy teraz zapisać w postaci

$ 2009=(3^{y'}5^{z'}-2^{x'})(3^{y'}5^{z'}+2^{x'})=ab, $

gdzie $a=3^{y'}5^{z'}-2^{x'}$ , $b=3^{y'}5^{z'}+2^{x'}$ . Po rozłożeniu 2009 na czynniki pierwsze $2009=41\cdot7^2$ , więc $(a,b)$ jest jedną par: $(1,2009)$ , $(7,287)$ , $(41,49)$ . Widzimy ponadto, że $b-a=2^{x'+1}$ , a różnica wyrazów w wymienionych parach jest potęgą 2 jedynie w przypadku $(41,49)$ , zatem $a=41$ i $b=49$ .

Stąd, rozwiązując układ dwóch równań, otrzymujemy $2^{x'}=4$ i $3^{y'}5^{z'}=45=3^2\cdot5$ . Prowadzi to do $x'=2$ , $y'=2$ , $z'=1$ , czyli jedynym rozwiązaniem zadania jest $x=4$ , $y=4$ , $z=2$ .