I OM - B - Zadanie 13

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Dowieść, że jeżeli prawdziwa jest równość

$ (a^2+ b^2+ c^2) \cdots (x^2+ y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2, $

to liczby $x, y, z$ są proporcjonalne do liczb $a, b, c$ .

Rozwiązanie

Gdy w danej równości wykonamy po obu stronach mnożenie, a następnie przeprowadzimy redukcję wyrazów podobnych, to otrzymamy równość

$ \begin{split} a^2y^2 &+ a^2z^2+ b^2x^2 + b^2z^2+ c^2x^2+ c^2y^2 \\ &= 2abxy + 2bcyz + 2cazx \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} (a^2y^2 &- 2abxy + b^2x^2) + b^2z^2 - 2bcyz + c^2y^2) + \\ &+ (c^2x^2- 2cazx + a^2z^2) = 0, \end{split} $

czyli

$ (ay - bx)^2 + (bz - cy)^2 + (cx - az)^2 = 0 $

Suma kwadratów liczb rzeczywistych tylko wtedy równa się
zeru, gdy każda z tych liczb jest równa zeru, zatem

$ ay - bx = 0,\; bz - cy = 0,\; cx - az = O. $

Stąd

$ x : y = a : b,\; y : z = b : c,\; z : x = c : a, $

czyli

$ x : y : z = a : b : c, $

co było do okazania.