I OM - B - Zadanie 14

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Dowieść, że suma liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich cyfr tych liczb jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie

Dowiedziemy najpierw, że różnica między liczbą naturalną $a$ i sumą $s$ jej cyfr jest podzielna przez 9. Niech $C_O, C_1, C_2, C_3, \dots$ oznaczają kolejno cyfry jedności, dziesiątek, setek, tysięcy i dalszych rzędów tej liczby. Wtedy

$ \begin{split} a &= C_0 + C_1 \cdot 10 + C_2 \cdot 100 + C_3 \cdot 1000 + \dots \\ s &= C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \dots \end{split} $

Odejmując te równości stronami otrzymujemy

$ a - s = C_1 \cdot 9 + C_2 \cdot 99 + C_3 \cdot 999 + \dots $

Ponieważ każdy składnik po prawej stronie jest podzielny przez 9, przeto i liczba $a - s$ jest podzielna przez 9.

Niech następnie $a_l, a_2, \dots, a_n$ oznaczają liczby naturalne, a $s_1, s_2, \dots, s_n$ - odpowiednio sumy cyfr tych liczb.

W tożsamości

$ \begin{split} a_l + a_2 + \dots + a_n &= [(a_l - s_1) + (a_2 - s_2) + \dots + (a_n - s_n) \\ &+ (s_1 + s_2 + \dots + s_n) \end{split} $

składnik prawej strony znajdujący się w nawiasie łamanym jest podzielny przez 9, gdyż jest sumą liczb podzielnych przez 9. Wobec tego liczba $a_l + a_2 + \dots + a_n$ jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy składnik $s_1 + s_2 + \dots + s_n$ tj. suma wszystkich cyfr liczb $a_l, a_2, \dots, a_n$ jest podzielna przez 9, a tego należało dowieść.