I OM - B - Zadanie 15

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Dane są dwa przecinające się okręgi o promieniach $r$ i $R$ . Przez jeden z punktów przecięcia tych okręgów poprowadzić taką
prostą, żeby ta prosta przecięła okręgi jeszcze w dwóch punktach $p$ i $Q$ i żebv odcinek $PQ$ miał daną długość $d$ .

Rozwiązanie

Przez punkt przecięcia $A$ danych okręgów ośrodkach $O$ i $S$ prowadzimy prostą przecinającą te okręgi jeszcze w punktach $P$ i $Q$ .

Punkty $P$ i $Q$ leżą bądź po przeciwnych stronach punktu $A$ (rys. 8), bądź po tej samej stronie punktu $A$ (rys. 9).

W pierwszym przypadku $PQ = AP + AQ$ ; w drugim przypadku sieczna $PQ$ może mieć takie położenie, że punkt $Q$ leży między punktami $A$ i $P$ (jak na rysunku 9), i wtedy $PQ = AP - AQ$ , albo też takie położenie, że punkt $P$ leży między punktami $A$ i $Q$ , i wtedy $PQ = AQ - AP$ . Aby uwzględnić w jednym wzorze oba przypadki, używamy znaku bezwzględnej wartości:

$ PQ =|AP-AQ| $

Opuśćmy z punktów $O$ i $S$ prostopadłe $OM$ i $SN$ na prostą $PQ$ i zauważmy, że

$ AM = \frac{1}{2}AP,\; AN = \frac{1}{2}AQ. $

Dlugość odcinka $MN$ równa się połowie długości odcinka $PQ$ . Istotnie w pierwszym przypadku mamy

$ MN = AM + AN = \frac{1}{2}AP + \frac{1}{2}AQ = \frac{1}{2}(AP + AQ) = \frac{1}{2}PQ, $

a w drugim przypadku mamy

$ MN = |AM -AN| = |\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}AQ| = \frac{1}{2} |AP-AQ| = \frac{1}{2}PQ. $

Poprowadźmy przez punkt $O$ prostą równoległą do prostej $PQ$ ; przetnie ona prostą $NS$ w punkcie $L$ . W trójkącie prostokątnym $OLS$ przeciwprostokątna $OS$ jest odległością środków danych okręgów, a przyprostokątna $OL = MN = \frac{1}{2} PQ$ .

Gdy dana jest długość $PQ = d$ , to trójkąt $OLS$ potrafimy zbudować, a tym samym potrafimy wykreślić prostą $PQ$ , jako równoległą do prostej $OL$ poprowadzoną przez punkt A.

Konstrukcja przedstawiona jest na rysunku 10.

Kreślimy okrąg o średnicy $OS$ . Z punktu $U$ jako ze środka zakreślamy okrąg promieniem $\frac{1}{2}d$ . Jeśli te dwa okręgi mają punkt wspólny $L$ , to prosta równoległa do prostej $OL$ poprowadzona przez punkt $A$ jest prostą szukaną, gdyż $PQ = 2\cdot OL = d$ , co stwierdzamy przeprowadzając poprzednie wnioskowanie w porządku odwrotnym.