I OM - B - Zadanie 17

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Dowieść, że jeżeli $a \neq b$ , to

$ a^3b + ab^3 < a^4 + b^4 $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ \begin{split} (a^4 + b^4) - (a^3 b + ab^3) &= (a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \\ &= (a - b)a^3 (a - b)b^3 \\ &= (a - b)(a^3 - b^3) \\ &= (a - b)(a - b) (a^2 + ab + b^2) \\ &= (a - b)^2 (a^2 +ab + b^2) \\ &= (a - b)^2 \left[(a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2\right], \end{split} $

więc jeśli $a \neq b$ , to

$ (a^4 + b^4) - (a^3b + ab^3) > O, $

skąd

$ a^3b+ab^3 < a^4+b^4. $