I OM - B - Zadanie 19

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Środki czterech jednakowych kulek leżą na okręgu koła, a środek ciężkości układu tych kulek leży w środku koła. Okazać, że środki kulek są wierzchołkami prostokąta.

Rozwiązanie

Niech $A, B, C, D$ oznaczają kolejne wierzchołki czworokąta utworzonego przez środki kulek, a $M$ i $N$ - środki dwóch przeciwległych boków $AB$ i $CD$ tego czworokąta.

Zastąpmy kulki o środkach $A$ i $B$ kulką 2 razy cięższą o środku $M$ , a kulki o środkach $C$ i $D$ - kulką 2 razy cięższą o środku $N$ . Środek ciężkości układu tych dwóch nowych kulek jest ten sam, co środek ciężkości układu poprzednich czterech kulek, gdyż siły ciężkości działające w punktach $A$ i $B$ zastąpiliśmy ich wypadkową działającą w punkcie $M$ i tak samo siły ciężkości działające w punktach $C$ i $D$ zostały zastąpione ich wypadkową działającą w punkcie $N$ . Zatem środek ciężkości dwóch kulek umieszczonych w punktach $M$ i $N$ , czyli środek odcinka $MN$ , leży w środku rozważanego okręgu.

Cięciwy $AB$ i $CD$ , których środki $M$ i $N$ leżą na średnicy okręgu, są do tej średnicy prostopadłe; cięciwy te są więc równoległe. Tak samo równoległe są dwa pozostałe boki $BC$ i $AD$ czworokąta $ABCD$ . Czworokąt ten jest więc wpisanym w koło równoległobokiem, czyli jest prostokątem.