I OM - B - Zadanie 20

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Boki trójkąta prostokątnego są wyrażone liczbami naturalnymi. Jedna z przyprostokątnych wyrażona jest liczbą 10. Obliczyć pozostałe boki tego trójkąta.

Rozwiązanie

Liczby naturalne $x$ i $y$ wyrażające długość przeciwprostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej rozważanego trójkąta spełniają, według twierdzenia Pitagorasa, równanie

$ (1) \qquad x^2-y^2 = 10^2 $

Ponieważ $10^2$ jest iiczbą parzystą, więc z równania (1) wynika, że liczby $x^2$ i $y^2$ są albo obie parzyste, albo obie nieparzysteo W takim razie również liczby $x$ i $y$ są albo obie parzyste, albo obie nieparzyste.

Z równania (1) wynika

$ (2) \qquad (x+y)(x-y)=10^2 $

Ponieważ liczby $x$ i $y$ są tej samej parzystości, więc liczby $(x + y)$ i $(x-y)$ są obie parzyste; ponadto $x + y > x-y$ . Otóż liczbę $10^2 = 100$ można rozłożyć na iloczyn dwóch nierównych czynników parzystych tylko jednym sposobem: $100 = 50 \cdot 2$ . Zatem z równania (2) wynika, że

$ \begin{cases} x+y=50 \\ x-y = 2 \end{cases} $

Stąd $x = 26$ , $y = 24$ .