I OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Dowieść, że jeżeli $m > 0$ , to $m + \frac{4}{m^2} \geq 3$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Gdy poszukujemy dowodu jakiegoś twierdzenia, postępujemy często podobnie, jak w analizie zadania konstrukcyjnego, przeprowadzając tzw. rozumowanie redukcyjne.

Zakładamy, że dane twierdzenie jest prawdziwe, wysnuwamy z omego wnioski zmierzając do tego, by otrzymać jakiEś znane twierdzenie prawdziwe. To prawdziwe twierdzenie obieramy za punkt wyjścia dowodu i staramy się drogą odwrotną do poprzedniej wywnioskować twierdzenie żądane.

Zastosujmy ten sposób do postawionego zadania.

Załóżmy, że gdy $m > 0$ , to

$ (1) \qquad m + \frac{4}{m^2} \geq 3 $

Stąd wnioskujemy kolejno, że gdy $m > 0$ , to

$ \begin{split} (2) &\qquad m^3 + 4 \geq 3m^2 \\ (3) &\qquad m^3 - 3m^2 + 4 \geq 0 \\ (4) &\qquad m^3 + m^2 - 4m^2 + 4 \geq 0 \\ (5) &\qquad m^2(m + 1) - 4(m^2 - 1) \geq 0 \\ (6) &\qquad (m + 1) (m^2 - 4m + 1) \geq 0 \\ (7) &\qquad (m + 1)(m - 2)^2 \geq 0 \end{split} $

Otóż gdy $m$ jest dodatnie, nierówność (7) jest na pewno prawdziwa, gdyż $(m + 1)$ jest liczbą dodatnią, a $(m - 2)^2$ jest liczbą dodatnią lub równą zeru. Obieramy więc nierówność (7) za punkt wyjścia dowodu twierdzenia:

Niech $m > 0$ ; zachodzi wówczas nierówność (7), a z niej wysnuwamy kolejno nierówności (6), (5) itd., aż. do nierówności (1).

Sposób II

Sposób I ma tę niedogodność, że ten sam ciąg
nierówności od (1) do (7) trzeba przebiegać raz w jednym kierunku,
a drugi raz w kierunku przeciwnym. Możemy tego uniknąć i skrócić
rozumowanie stosując metodę sprowadzenia do niedorzeczności.
Przypuśćmy, że twierdzenie nasze jest fałszywe, to znaczy,
że istnieje taka dodatnia liczba $m$ , która spełnia nierówność

$ (1) \qquad m + \frac{4}{m^2} < 3 $

Stąd wnioskujemy kolejno, że gdy $m > 0$ , to

$ \begin{split} (2) &\qquad m^3 + 4 < 3m^2 \\ (3) &\qquad m^3 - 3m^2 + 4 < 0 \\ (4) &\qquad m^3 + m^2 - 4m^2 + 4 < 0 \\ (5) &\qquad m^2(m + 1) - 4(m^2 - 1) < 0 \\ (6) &\qquad (m + 1) (m^2 - 4m + 1) < 0 \\ (7) &\qquad (m + 1)(m - 2)^2 < 0 \end{split} $

Otrzymaliśmy wynik fałszywy, gdyż przy $m > 0$ żadna z liczb $(m + 1)$ i $(m - 2)^2$ nie jest liczbą ujemną, a więc iloccyn nie może być ujemny.

Żadna dodatnia liczba $m$ nie spełnia zatem nierówności (1).

Znaczy to, że

$ m + \frac{4}{m^2} \geq 3 $

dla każdego dodatniego $m$ .