I OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Dowieść, że suma sześcianów $n$ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

Rozwiązanie

Sposób I

W rachunku, który wypadnie wykonać, dogodnie będzie skorzystać ze znanych wzorów na sumę pierwszych, drugich i trzecich potęg liczb naturalnych od 1 do $(n - 1)$ . Sumy te oznaczymy literami $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ :

$ \begin{split} \sigma_1 &= 1+2+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \\ \sigma_2 &= 1^2+2^2+\dots+(n-1)^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ \sigma_3 &= 1+2+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \\ \end{split} $

Zauważmy, że

$ \sigma_2 = \sigma_1 \cdot \frac{2n-1}{3}\cdot \sigma_3 = \sigma_1^2 $

Niech $a$ oznacza pierwszy z rozważanych $n$ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego, $d$ -różnicę postępu, $S$ - sumę $n$ kolejnych wyrazów postępu, $T$ - sumę sześcianów tych wyrazów. Stosując powyższe wzory otrzymujemy

$ \begin{split} S &= a + (a+d) + \dots + [a+(n-1)d] = \\ & na + [1+2+\dots+(n-1)]d, \end{split} $

czyli

$ S=na+\sigma_1 d $

oraz

$ \begin{split} T &= a^3+ (a + d)^3 + \dots + [a + (n - 1) d]^3 = \\ &= na^3 + 3 \cdot [1 + 2 + \dots + (n - 1)]a^2 d + \\ &+ 3\cdot [1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2] ad^2 + [1^3 + 2^3 + \dots + (n-1)^3] d^3, \end{split} $

zatem

$ T=na^3 + 3\sigma_1 a^2 d + 3\sigma_2 a d^2 + \sigma_3 d^3, $

czyli

$ (2) \qquad na^3 + 3\sigma_1 a^2 d + (2n-1)\sigma_1 a d^2 + \sigma_1^2 d^3, $

Sumy $S$ i $T$ , wyrażone wzorami (1) i (2), są wielomianami uporządkowanymi względem $a$ . Najwyższe ich wyrazy $na^3$ i $na$ dają iloraz $a^2$ , a najniższe wyrazy, czyli $\sigma_1^2 d^3$ i $\sigma_1 d$ dają iloraz $\sigma_1 d^2$

Jeśli wiclomian $T$ jest podzielny przez dwumian $S$ , to iloraz ma postać $a^2+ xad + \sigma_1d^2$ . Otóż

$ \begin{split} S(a^2+ xad + \sigma_1d^2) &= (na + \sigma_1 d) (a^2+ xad + \sigma_1 d^2)= \\ &= na^3+ (nx + \sigma_l)a^2d + (x + n)\sigma_1 ad^2+ \sigma_1 d^2 \end{split} $

Otrzymany wielomian $T$ będzie identyczny z wielomianem (2), gdy obierzemy $x = n-l$ , gdyż wówczas będzie $nx + \sigma_1 = 3\sigma_1$ i $x + n = 2n-1$ .

Zatem

$ (*) \qquad T = S[a^2+(n-1)ad + \sigma_1 d^2] $

Istotnie więc wielomian $T$ jest podzielny przez dwumian $S$ .

Sposób II

Przypuśćmy, że $n$ jest liczbą nieparzystą: $n = 2k + 1$ .
Oznaczmy środkowy wyraz postępu literą $b$ , a różnicę postępu
literą $d$ . Wówczas będziemy mieli postęp

$ \begin{split} b - kd, b - (k - 1) d, &\dots , b - d, b, b + d, \\ &\dots , b + (k - 1) d, b + kd. \end{split} $

Obliczamy sumę wyrazów tego postępu:

$ S = (2k + 1) b $

Z kolei obliczamy sumę trzecich potęg wyrazów postępu:

$ \begin{split} T=[b - kd]^3, [b - (k - 1) d]^3, &\dots , [b - d]^3, b^3, [b + d]^3, \\ &\dots , [b + (k - 1) d]^3, [b + kd]^3. \end{split} $

Obliczenie pomocnicze:

$ [b - kd]^3 + [b + kd]^3 = 2b^3+ 6k^2bd^2 $

Podobnie mamy

$ \begin{split} [b - (k-1)d]^3 + [b + (k-1)d]^3 = 2b^3+ 6(k-1)^2bd^2 \\ \dots \\ [b - d]^3 + [b + d]^3 = 2b^3+ 6bd^2 \\ \end{split} $

W ten sposób otrzymujemy

$ T=[2b^3+ 6k^2bd^2] + [2b^3+ 6(k-1)^2bd^2] + \dots + [2b^3+ 6bd^2] + b^3 $

$ T=(2k+1)b^3 + 6[k^2+(k-1)^2 + \dots + 1^2] bd^2 $

Korzystając ze wzoru

$ 1^2+2^2+\dots+(k-1)^2 + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $

otrzymujemy

$ \begin{split} T &= (2k + 1) b^3 + k (k + 1) (2k + 1) bd^2 \\ T &= (2k + 1) b[b^2 + k (k + 1) d^2] \\ (**)\qquad T &= S \cdot [b^2 + k (k + 1) d^2] \end{split} $

Ostatni wzór wykazuje, że $T$ jest podzielne przez $S$ .
W przypadku, gdy $n$ jest liczbą parzystą: $n = 2k$ , w postępie nie ma wyrazu środkowego. W tym przypadku średnią arytmetyczną dwóch wyrazów stojących pośrodku postępu oznaczamy literą $c$ , a literą $r$ oznaczamy połowę różnicy postępu. Mamy wtedy postęp

$ \begin{split} c - (2k - 1) r, c - (2k - 3) r, &\dots , c - 3r, c - r, c + r, c + 3r, \\ &\dots , c + (2k - 3)r, c + (2k - 1) r. \end{split} $

Obliczamy sumę wyrazów postępu:

$ S=2kc $

Z kolei obliczamy sumę trzecich potęg wyrazów postępu:

$ \begin{split} T = [c - (2k - 1) r]^3, [c - (2k - 3) r]^3, &\dots , [c - 3r]^3, [c - r]^3, [c + r]^3, [c + 3r]^3, \\ &\dots, [c + (2k - 3)r]^3, [c + (2k - 1) r]^3. \end{split} $

Obliczenia pomocnicze:

$ \begin{split} [c - (2k - 1) r]^3 + [c + (2k - 1) r]^3 &= 2c^3+ 6(2k - 1)^2 cr^2 \\ [c - (2k - 3) r]^3 + [c + (2k - 3) r]^3 &= 2c^3 + 6(2k - 3)^2 cr^2 \\ \dots \\ [c - 3r]^2 + [c + 3r]^3 &= 2c^3 + 6 \cdot 3^2cr^2 \\ [c - r]^2 + [c + r]^3 = 2c^3 + 6 \cdot 1^2cr^2 \end{split} $

Na podstawie powyższych wzorów mamy

$ \begin{split} T &= [2c^3 + 6 (2k - 1)^2 cr^2] + [2c^3+ 6 (2k - 3)^2 cr^2] + \dots + \\ &+ [2c^3 + 6 \cdot 3^2 cr^2] + [2c^3 + 6 \cdot 1^2 cr^2] \\ T &= 2kc^3 + 6 [(2k - 1)^2 + (2k - 3)^2 + \dots + 3^2+ 1^2]cr^2 \end{split} $

Trzeba obliczyć sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych nieparzystych.

Otrzymamy ją odejmując od sumy kwadratćw liczb naturalnych od 1 do $2k$ sumę kwadratów liczb parzystych $2, 4, \dots , 2k$ , czyli 4 razy wziętą sumę kwadratów liczb $1, 2, 3, \dots , k$ , co daje

$ \frac{2k(2k+1)(4k+1)}{6} - \frac{4k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} $

Korzystając z tego wzoru otrzymujemy

$ \begin{split} T &= 2kc^3 + 2k (2k - 1) (2k + 1) cr^2 \\ T &= 2kc [c^2 + (2k - 1) (2k + 1) r^2] \\ (***) \qquad T &= S \cdot [c^2 + (2k - 1) (2k + 1) r^2] \end{split} $

Wzór ten dowodzi, że i w tym przypadku $T$ jest podzielne przez $S$ .

Uwaga. Wzory (**) i (***) wyrażają ten sam związek, co wzór (*). Łatwo to sprawdzić podstawiając do wzoru (*) wartości $n = 2k + 1$ , $a = b- kd$ bądź też wartości $n = 2k$ , $d = 2r$ , $a = c - (2k - 1) r$ .