LVII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $n$ , dla których liczba
$2^n +105$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $2^n +105$ daje z dzielenia przez 3 resztę 2. Ponieważ liczba będąca kwadratem liczby całkowitej nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3, więc liczba $n$ spełniająca warunki zadania musi być parzysta.

Przyjmijmy więc, że $n =2k$ dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej $k$ . Chcemy rozwiązać równanie $2^2k +105 = m^2$ w liczbach całkowitych nieujemnych $k$ i $m$ . Równanie to przepisujemy w postaci $(m-2^k)(m+2^k) = 105$ .

Z uzyskanej równości wynika, że $m-2^k >0$ . Oczywiście również spełniona jest nierówność $m+2^k >m-2^k$ . Ponieważ $105=3\cdot 5\cdot 7$ , więc wyznaczenie liczb całkowitych nieujemnych m i k spełniających zależność $(m-2^k)(m+2^k)=105$ sprowadza się do rozwiązania czterech układów równań:

$ \begin{cases} m-2^k =7 \\ m+2^k = 15 \end{cases} \begin{cases} m-2^k =5 \\ m+2^k = 21 \end{cases} \begin{cases} m-2^k =3 \\ m+2^k = 35 \end{cases} \begin{cases} m-2^k =1 \\ m+2^k = 105 \end{cases} $

Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego dochodzimy do wniosku, że liczba $2 \cdot 2^k =2^{k+1}$ równa się 8, 16, 32 lub 104. Stąd uzyskujemy trzy możliwe wartości $k$ ; są nimi: 2, 3 lub 4. Tym samym możliwe wartości liczby n wynoszą 4, 6 lub 8.

Bezpośrednio sprawdzamy, że dla uzyskanych trzech wartości $n$ liczba $2^n +105$ jest kwadratem liczby całkowitej:

$ \begin{split} 2^4 +105 &= 121 = 11^2,\\ 2^6 +105 &= 169 = 13^2,\\ 2^8 +105 &= 361 = 19^2 . \end{split} $