LVII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $x$ równanie

$ \sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right] $

Uwaga: $[t]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $t$ .

Rozwiązanie

Niech $x$ będzie liczbą spełniającą dane równanie. Wtedy liczba $y = \sqrt[5]{x}$ jest całkowita. Ponadto $y \geq 0$ , gdyż $x \geq 0$ . Podstawiając więc $x = y^5$ do rozpatrywanego równania otrzymujemy

$ y = \left[\sqrt[5]{3}\cdot y\right]. $

Zależność ta oznacza, że

$ y\leq \sqrt[5]{3} \cdot < y+1. $

Pierwsza z tych nierówności jest prawdziwa dla dowolnej liczby nieujemnej y. Druga natomiast jest równoważna nierówności

$ (1) \qquad y < \frac{1}{\sqrt[5]{3}-1} $

Ponieważ liczba $1/(\sqrt[5]{3}-1)$ należy do przedziału $(4,5)$ , więc spośród liczb całkowitych nieujemnych tylko liczby 0, 1, 2, 3, 4 spełniają zależność (1). Tym samym niewiadoma $x$ przyjmuje jedną z pięciu wartości: 0, 1, $2^5$ , $3^5$ lub $4^5$ .

Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że każda z tych pięciu liczb spełnia wyjściowe równanie.