LVII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Trójkąt ostrokątny $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ . Punkt $D$ jest rzutem prostokątnym punktu $C$ na prostą $AB$ , a punkty $E$ i $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $D$ odpowiednio na proste $AC$ i $BC$ . Wykazać, że pole czworokąta $EOFC$ jest równe połowie pola trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Niech $P$ będzie punktem symetrycznym do punktu $C$ względem punktu $O$ (rys. 1). Ponieważ trójkąt $ABC$ jest ostrokątny,
więc punkty $A$ , $P$ , $B$ i $C$ leżą na okręgu o środku $O$ w tej własnie kolejności.

Pola trójkątów $COE$ i $POE$ są równe, gdyż trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $E$ , a odcinki $CO$ i $OP$ są równej długości. Analogicznie, pola trójkątów $COF$ i $POF$ są równe. Stąd otrzymujemy $[EOFC] = \frac{1}{2}\cdot [EPFC]$ , gdzie symbolem $[\mathcal{F}]$ oznaczyliśmy pole figury $\mathcal{F}$ .

Aby dokończyc rozwiązanie należy dowieść, ze $[EPFC]=[ABC]$ .

Odcinek $CP$ jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , więc proste $AP$ i $AC$ są prostopadłe. Prosta $DE$ jest
prostopadła do prostej $AC$ , więc równoległa do prostej $AP$ . Stąd wynika, że pola trójkątów $DEA$ i $DEP$ są równe. Podobnie,
pola trójkątów $DFB$ i $DFP$ są równe. Zatem

$ \begin{split} [EPFC] &= [EDFC]+[DEP]+[DFP]= \\ &= [EDFC]+[DEA]+[DFB]=[ABC], \end{split} $

co kończy rozwiązanie zadania.