LVII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Niech $a, b$ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $f(x)= ax+b|x|$ oraz $g(x)= ax-b|x|$ .
Wykazać, że jeśli $f(f(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , to również $g(g(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ mamy

$<br /> g(x)= ax-b|x| = -(a\cdot (-x)+b\cdot |-x|)= -f(-x).<br />$

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej $x$ otrzymujemy

$<br /> g(g(x)) = -f(-g(x)) = -f(f(-x)) = -(-x)= x,<br />$

co należało udowodnić.