LVII OM - I - Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym wysokości przecinają się w punkcie . Prosta przechodząca przez przecina odcinki i
odpowiednio w punktach i . Prosta przechodząca przez i prostopadła do prostej przecina prostą w punkcie .
Dowieść, że

Rozwiązanie

Niech będzie punktem przecięcia prostej z prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do prostej
(rys. 2). Oznaczmy przez rzut prostokątny punktu na prostą , zaś przez punkt przecięcia prostych
prostopadłych i .

Odcinki i są wysokościami w trójkącie , a zatem prosta zawiera trzecią wysokość tego trójkąta.
Zatem prosta jest prostopadła do prostej , czyli równoległa do prostej . Stąd