LVII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Dana jest liczba pierwsza $p> 3$ oraz takie liczby całkowite dodatnie $a, b, c$ , że $a + b+ c = p+1$ oraz liczba
$a^3 +b^3 +c^3 -1$ jest podzielna przez $p$ . Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb $a, b, c$ jest równa 1.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$ \begin{split} (a+b+c)^3 &= a^3 +b^3 +c^3 +3(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+ca+ac+2abc)= \\ &= a^3 +b^3 +c^3 +3(a+b)(b+c)(c+a). \end{split} $

Zgodnie z warunkami zadania liczby $a+b+c$ oraz $a^3 +b^3 +c^3$ dają z dzielenia przez $p$ resztę 1, a więc na mocy powyższej tożsamości liczba

$ 3(a +b)(b+c)(c+a) $

jest podzielna przez $p$ . Skoro $p$ jest liczbą pierwszą różną od 3, to któryś z czynników $a + b$ , $b + c$ lub $c + a$ jest podzielny przez $p$ . Przyjmijmy, bez straty ogólności, że $p|a+b$ .

Liczby $a, b, c$ są całkowite dodatnie, więc $0 <a+b<a+b+c = p+1$ . Stąd wynika, że $a+b = p$ , czyli $c = 1$ .