LVII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Liczby rzeczywiste dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek

$ ab+ bc +ca =3. $

Dowieść, że

$ a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \geqslant 9. $

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c spełniona jest nierówność

$ (1) \qquad a^3 +b^3 + c^3 +6abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca). $

Wymnażając nawiasy przepisujemy nierówność (1) w postaci

$ a^3 +b^3 +c^3 -(a^2b+ab^2 +b^2c+bc^2 +c^2a+ca^2)+3abc \geq 0, $

po czym grupując odpowiednie wyrazy sprowadzamy ją do zależności

$ a(a-b)(a-c)+b(b -c)(b -a)+c(c-a)(c-b) \geq 0. $

Bez straty ogólności przyjmijmy, że $a \leq b \leq c$ oraz zapiszmy ostatnią nierówność jako

$ a(b-a)(c-a)+(c-b)(c(c-a)-b(b-a)) \geq 0. $

Oba składniki powyższej sumy są nieujemne. To kończy dowód nierówności (1).

Udowodnimy następnie, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, c$ spełniona jest nierówność

$ (2) (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca). $

Istotnie: nierówność (2) jest równoważna zależności $a^2 +b^2 +c^2 \geq ab+bc+ca$ , która z kolei po pomnożeniu stronami przez 2 sprowadza się do zależności $(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 \geq 0$ . Dowód nierówności (2) jest więc zakończony.

Korzystając z nierówności (1), (2) oraz uwzględniając dany w treści zadania warunek $ab+bc+ca = 3$ otrzymujemy

$ a^3 +b^3 +c^3 +6abc \geq \sqrt{3(ab+bc+ca)} \cdot (ab+bc+ca)=9. $