LVII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek $ab+bc+ca = abc$ . Dowieść, że

$ \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1 $

Rozwiązanie

Dzieląc równość $ab+bc+ca = abc$ stronami przez $abc$ otrzymujemy

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1. $

Podstawmy zatem: $x=1/a,\ y =1/b,\ z =1/c$ . Wtedy liczby $x, y, z$ są dodatnie, a ich suma wynosi 1. Ponadto

$ \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} = \frac{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}}{\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}\right)} = \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} $

Zatem dowodzona nierówność przybiera postać

$ (1) \qquad \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} + \frac{y^4+z^4}{y^3+z^3} + \frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \geq 1 $

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $x, y$ spełniona jest zależność

$ (2) \qquad \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} \geq \frac{x+y}{2}. $

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność dostajemy kolejno

$ \begin{split} 2x^4 + 2y^4 &\geq x^4 + x^3y + xy^3 + y^4, \\ x^4 - xy + y^4 - xy^3 &\geq 0, \\ (x^3 - y^3)(x-y) &\geq 0. \end{split} $

Uzyskaliśmy zależność prawdziwą dla dowolnych liczb dodatnich $x$ i $y$ , a zatem nierówność (2) jest spełniona. Analogicznie dowodzimy, że

$ (3) \qquad \frac{y^4+z^4}{y^3+z^3} \geq \frac{y+z}{2} \quad\text{ oraz }\quad \frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \geq \frac{z+x}{2}. $

Dodając stronami związki (2), (3) oraz wykorzystując warunek $x + y + z = 1$ otrzymujemy dowodzoną nierówność (1).