LVII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

Punkt $C$ jest środkiem odcinka $AB$ . Okrąg $o_1$ przechodzący przez punkty $A$ i $C$ przecina okrąg $o_2$ przechodzący
przez punkty $B$ i $C$ w różnych punktach $C$ i $D$ . Punkt $P$ jest środkiem tego łuku $AD$ okręgu $o_1$ , który nie zawiera
punktu $C$ . Punkt $Q$ jest środkiem tego łuku $BD$ okręgu $o_2$ , który nie zawiera punktu $C$ . Dowieść, że proste $PQ$ i $CD$
są prostopadłe.

Rozwiązanie

Jeśli $AC = CD$ , to również $BC = CD$ . Wtedy odcinki $PC$ i $QC$ są odpowiednio średnicami okręgów $o_1$ i $o_2$ . Zatem $\measuredangle CDP = \measuredangle CDQ = 90^{\circ}$ , skąd wynika, że punkt $D$ leży na odcinku $PQ$ , a proste $PQ$ i $CD$ są prostopadłe.

Przyjmijmy więc w dalszej części rozwiązania, że $AC \neq CD$ .

Niech $E$ będzie takim punktem leżącym na półprostej $CD$ , że $CE = AC$ (rys. 3). Wtedy również $CE = BC$ .
Z zależności $CE = AC$ oraz $\measuredangle ACP = \measuredangle ECP$ wynika, że trójkąty $ACP$ oraz $ECP$ są przystające
(cecha bok-kąt-bok). Wobec tego $EP = AP = DP$ .

Analogicznie dowodzimy, że $EQ = DQ$ .

Z uzyskanych równości wynika, że punkty $D$ i $E$ są symetryczne względem prostej $PQ$ . Prosta $DE$ jest więc prostopadła
do prostej $PQ$ , co kończy rozwiązanie zadania.