LVII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

III

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $a, b, c, d, e$ układ równań

$ \begin{cases} a^2 &= b^3 + c^3 \\ b^2 &= c^3 + d^3 \\ c^2 &= d^3 + e^3 \\ d^2 &= e^3 + a^3 \\ e^2 &= a^3 + b^3 \\ \end{cases} $

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że liczby $a, b, c, d, e$ spełniają podany układ równań i że $b$ jest największą z nich (nie tracimy ogólności, bo układ jest cykliczny). Wykażemy, że wówczas $b = d$ .

Przypuśćmy, przeciwnie, że $b>d$ . Odejmując drugie równanie od równania pierwszego dostajemy $a^2 - b^2 = b^3 - d^3 > 0$ , czyli

$ (a-b)(a+b) > 0. $

Liczba $a$ nie jest większa od liczby $b$ ; w takim razie $a - b < 0$ oraz $a + b < 0$ . Ta ostatnia nierówność daje jednak wniosek, że $a^3 + b^3 < 0$ , w sprzeczności z równaniem $e^2 = a^3 + b^3$ .

Zatem istotnie $b = d$ , co oznacza, że także $d$ ma maksymalną wartość wśród pięciu niewiadomych. Powtarzając to rozumowanie
stwierdzamy kolejno, że $d = a = c = e$ .