LVII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $k$ , dla których liczba $3^k+5^k$ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

Rozwiązanie

Jeżeli $k$ jest liczbą parzystą, to liczby $3^k$ i $5^k$ są kwadratami liczb nieparzystych, dającymi resztę 1 z dzielenia
przez 4. Stąd wniosek, że liczba $3^k+5^k$ daje resztę 2 z dzielenia przez 4, a więc dzieli się przez 2 i nie dzieli się przez $2^2$ .
Taka liczba nie może być potęgą liczby całkowitej o wykładniku większym od 1.

Jeżeli $k$ jest liczbą nieparzystą, to

$ 3^k+5^k = (3+5)(3^{k-1} -3^{k-2} \cdot 5 + 3^{k-3} \cdot 5^2 - 3^{k-4} \cdot 5^3 + \dots -3\cdot 5^{k-2} + 5^{k-1}). $

Drugi czynnik po prawej stronie powyższej zależności zawiera nieparzystą (równą $k$ ) liczbę nieparzystych składników.
Stąd wynika, że liczba $3^k+5^k$ dzieli się przez 8 i nie dzieli się przez 16. Jeśli więc liczba ta jest potęgą liczby
całkowitej o wykładniku większym od 1, to musi być ona sześcianem liczby całkowitej.

Jeżeli $k = 1$ , to rozpatrywana liczba jest sześcianem liczby całkowitej: $3^1 +5^1 =2^3$ . Przyjmijmy więc w dalszej
części rozumowania, że $k \geq 3$ . Z zależności

$ \begin{split} 0^3 \equiv 0 (\mod 9),& (\pm 1)^3 \equiv \pm 1 (\mod 9), (\pm 2)^3 \equiv \mp (\mod 9) , \\ & (\pm 3)^3 \equiv 0 (\mod 9), (\pm 4)^3 \equiv \pm 1 (mod 9) \end{split} $

wynika, że sześciany liczb całkowitych dają z dzielenia przez 9 jedynie reszty 0, 1, 8. Dla $k \geq 3$ mamy $9 | 3^k$ ,
więc $3^k+5^k \equiv 5^k (\mod 9)$ .

Reszty z dzielenia przez 9 liczb $5, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6$ są odpowiednio równe 5, 7, 8, 4, 2, 1. Wobec tego jeżeli
$3^k+5^k$ jest sześcianem liczby całkowitej przy $k \geq 3$ , to $3|k$ . Wcześniej wykazaliśmy, że $k$ nie może być liczbą parzystą.
Zatem liczba $k$ jest postaci $6l+3$ , gdzie $l$ jest liczbą całkowitą nieujemną.

Z zależności $3^3 \equiv 5^3 \equiv 6 (\mod 7)$ oraz $3^6 \equiv 5^6 \equiv 1 (\mod 7)$ wynika, że

$ 3^k+5^k =3^{6l+3} +5^{6l+3} \equiv 3^3 +5^3 \equiv 5 (\mod 7). $

Jednakże z bezpośredniego sprawdzenia otrzymujemy, że sześcian liczby całkowitej daje z dzielenia przez 7 resztę 0, 1 lub 6:

$ \begin{split} 0^3 \equiv 0 (\mod 7), & (\pm 1)^3 \equiv \pm 1 (\mod 7),\\ (\pm 2)^3 \equiv \pm 1 (\mod 7), & (\pm 3)^3 \equiv \mp 1 (\mod 7). \end{split} $

Zatem rozpatrywana liczba dla $k \geq 3$ nie może być sześcianem liczby całkowitej, co kończy rozwiązanie zadania.

Odpowiedź: $k = 1$ .