LVII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

III

Dany jest czworościan $ABCD$ , w którym $AB = CD$ . Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ABC$ i $ABD$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Dowieść, że jeżeli punkty $K$ i $L$ są środkami ciężkości ścian $ABC$ i $ABD$ , to czworościan $ABCD$ jest foremny.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $s$ sferę wpisaną w czworościan $ABCD$ . Rozpoczniemy od wykazania, że trójkąty $ABC$ i $ABD$ są przystające.

Niech $E$ będzie środkiem krawędzi $AB$ . Ponieważ $K$ i $L$ są punktami styczności sfery $s$ do czworościanu $ABCD$ , to $AK = AL$ i $BK = BL$ , skąd wynika, że trójkąty $AKB$ i $ALB$ są przystające. Ich środkowe $KE$ i $LE$ mają jednakową długość, skąd $CE =3\cdot KE =3\cdot LE = DE$ . Ale

$ \measuredangle CEB = \measuredangle KEB = \measuredangle LEB = \measuredangle DEB, $

więc trójkąty $BEC$ i $BED$ są przystające.

Analogicznie dowodzimy, że trójkąty $AEC$ i $AED$ są przystające. Zatem trójkąty $ABC$ i $ABD$ są przystające.

Niech $M$ i $N$ będą punktami styczności sfery $s$ odpowiednio ze ścianami $BCD$ i $CDA$ .Otrzymujemy następujące pary
trójkątów przystających: $BKC$ i $BMC$ ; $BLD$ i $BMD$ ; $AKC$ i $ANC$ ; $ALD$ i $AND$ ; $CMD$ i $CND$ .

Oznaczmy: $\alpha = \measuredangle AKC$ , $\beta = \measuredangle BKC$ . Wtedy $\measuredangle ALD = \alpha$ oraz
$\measuredangle BLD = \beta$ , gdyż trójkąty $ABC$ i $ABD$ są przystające. Zatem

$ \begin{split} \measuredangle ANC = \measuredangle AKC = \alpha, &\quad \measuredangle AND = \measuredangle ALD = \alpha, \\ \measuredangle BMC = \measuredangle BKC = \beta , &\quad \measuredangle BMD = \measuredangle BLD = \beta. \end{split} $

Stąd otrzymujemy $\measuredangle DNC = 360^{\circ} - \measuredangle ANC - \measuredangle AND = 360^{\circ} - 2\alpha$ ,
jak również $\measuredangle DMC = 360^{\circ} -\measuredangle BMC -\measuredangle BMD = 360^{\circ} -2\beta$ .
Ale $\measuredangle DMC = \measuredangle DNC$ , skąd $\alpha = \beta$ . Zatem $\measuredangle AKE = \measuredangle BKE$ , więc
$KE$ jest jednocześnie dwusieczną i środkową w trójkącie $AKB$ . Stąd $AK = BK$ , a więc $AC = BC$ . Ostatecznie otrzymujemy
więc $AC = BC = AD = BD$ .

Przez każdą krawędź czworościanu $ABCD$ poprowadźmy płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi czworościanu. Płaszczyzny te wyznaczają równoległościan. W każdej z jego ścian jedna przekątna jest krawędzią czworościanu $ABCD$ , a druga przekątna jest równa i równoległa do przeciwległej krawędzi tego czworościanu. Ponieważ przeciwległe krawędzie czworościanu $ABCD$ są równe, więc wszystkie ściany otrzymanego równoległościnu są prostokątami. A zatem równoległościan ten jest prostopadłościanem. Wynika stąd w szczególności, że prosta łącząca środki krawędzi $AD$ i $BC$ jest prostopadła do tych krawędzi.

Rozpatrzmy przekształcenie będące obrotem o kąt $180^{\circ}$ wokół prostej łączącej środki krawędzi $AD$ i $BC$ . W wyniku tego przekształcenia czworościan $ABCD$ przechodzi na siebie, więc sfera $s$ też musi przejść na siebie. Ponadto ściany $ABC$ i $ABD$ przechodzą odpowiednio na ściany $DCB$ i $DCA$ , a zatem środki ciężkości ścian $DCB$ i $DCA$ pokrywają się z punktami $M$ i $N$ .

Analogicznie jak wyżej wykazujemy, że $AB = BD = DC = CA$ , skąd wnioskujemy, że wszystkie krawędzie czworościanu
$ABCD$ są równej długości. To oznacza, że czworościan $ABCD$ jest foremny.