LVII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVII OM, 2005-2006

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $a$ , $b$ , dla których istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $(x^2 + ax + b)\cdot P(x)$ jest wielomianem postaci

$ x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0, $

gdzie każda z liczb $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$ jest równa 1 lub -1.

Rozwiązanie

Jeżeli trójmian $x^2 + ax + b$ jest dzielnikiem pewnego wielomianu $Q(x)$ o współczynnikach całkowitych, to oczywiście wyraz wolny $b$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego wielomianu $Q(x)$ . Wobec tego (w rozważanej sytuacji) $b=\pm 1$ .

Żaden wielomian $Q(x)$ postaci $x^n \pm x^{n-1} \pm x^{n-2} \pm \ldots \pm x\pm 1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych o wartości
bezwzględnej większej lub równej 2. Przypuśćmy bowiem, że liczba r o module |r|. 2 spełnia zależność Q(r) = 0. Wtedy

$ \begin{split} |r|^n = |r^n| = |r^{n-1} \pm r^{n-2} \pm \ldots \pm r \pm 1| \leq \\ \leq |r|^{n-1} + |r|^{n-2} +\ldots +|r|+1 = \frac{|r|^n-1}{|r|-1} < \frac{|r|^n}{|r|-1}, \end{split} $

skąd wynika, że $|r| < 2$ . Sprzeczność.

Z drugiej strony, każdy pierwiastek trójmianu $T(x)= x^2 + ax + b$ jest też pierwiastkiem wielomianu $T(x)\cdot P(x)$ .
Stąd wynika, że trójmian $T(x)$ nie ma pierwiastków w zbiorze $(-\infty,-2\rangle \cup \langle 2,+\infty)$ .
Zatem $T(-2) > 0$ oraz $T(2) > 0$ , czyli $4-2a+b > 0$ oraz $4+2a+b> 0$ .

Jeśli $b = 1$ , to mamy $5 > 2a$ i $5 > -2a$ , skąd wynika, że $a$ jest jedną z liczb $-2, -1, 0, 1, 2$ . Jeżeli natomiast
$b = -1$ , to $3 > 2a$ i $3 > -2a$ i do rozpatrzenia pozostają przypadki, gdy $a$ jest jedną z liczb -1, 0, 1.

Bezpośrednie sprawdzenie dowodzi, że wszystkie uzyskane pary (a,b) spełniają warunki zadania:

$ \begin{split} (x^2-2x+1)\cdot (x+1) = x^3 -x^2 -x+1, &\quad (x^2 +1)\cdot (x+1) = x^3 +x^2 +x+1, \\ (x^2+2x+1)\cdot (x-1) = x^3 +x^2 -x-1, &\quad (x^2 -1)\cdot (x+1) = x^3 +x^2 -x-1, \\ (x^2-x+1)\cdot 1= x^2 -x+1, &\quad (x^2 +x+1)\cdot 1= x^2 +x+1, \\ (x^2-x-1)\cdot 1= x^2 -x-1, &\quad (x^2 +x-1)\cdot 1= x^2 +x-1. \end{split} $

Odpowiedź: Warunki zadania spełnia następujących osiem par
$(a,b)$ : (-2,1), (-1,-1), (-1,1), (0,-1), (0,1), (1,-1), (1,1), (2,1).