LVI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ układ równań

$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}=yz+1\\ y^{2}=zx+2\\ z^{2}=xy+4 \end{array}\right. $

Rozwiązanie

Pierwsze równanie danego układu równań mnożymy przez $y$ , drugie przez $z$ , a trzecie przez $x$ . W ten sposób uzyskane równania dodajemy stronami otrzymując

$ (1)\qquad 0=y+2z+4x. $

Następnie mnożymy pierwsze równanie danego w treści zadania układu równań przez $z$ , drugie przez $x$ , a trzecie przez $y$ . Po dodaniu stronami dostajemy

$ (2)\qquad 0=z+2x+4y. $

Równanie (2) mnożymy przez $-2$ i dodajemy stronami do równania (1). W efekcie otrzymujemy $0 = -7y$ , czyli $y = 0$ . Wstawiając $y = 0$ do pierwszego równania uzyskujemy $x^2 = 1$ , skąd x =1 lub x = -1. Wykorzystując po raz kolejny zależność (2) mamy $z = -2x$ , czyli odpowiednio $z = -2$ lub $z = 2$ . Wykazaliśmy zatem, że jeśli trójka $(x,y,z)$ spełnia podany układ równań, to jest nią $(1,0,-2)$ lub $(-1,0,2)$ . Z drugiej strony, bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że obie uzyskane trójki $(x,y,z)$ są rozwiązaniami danego układu równań.

Odpowiedź: $(x,y,z) = (1,0,-2)$ lub $(x,y,z) = (-1,0,2)$ .