LVI OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n>1$ , dla których wartość sumy $2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

Rozwiązanie

Ze wzoru $1+2^{2}+3^{2}+ \ldots+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ , prawdziwego dla dowolnej liczby naturalnej $n$ , otrzymujemy

$ 2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{1}{6}(n(n+1)(2n+1)-6)=\frac{1}{6}(n-1)(2n^2+5n+6). $

Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia wszystkich liczb naturalnych $n>1$ , liczb pierwszych $p$ oraz liczb całkowitych dodatnich $k$ , dla których spełniona jest równość

$ (1)\qquad (n-1)(2n^{2}+5n+6)=6p^{k} $

Ponieważ czynnik $2n^2 +5n+6$ jest większy od $6$ , więc z równości (1) wynika, że jest on podzielny przez $p$ . Wykażemy, że z kolei czynnik $n-1$ nie jest podzielny przez $p$ .

Przypuśćmy, że $p|n-1$ . Ponieważ także liczba

$ (2)\qquad M=2n^{2}+5n+6=2(n-1)^{2}+9(n-1)+13 $

jest podzielna przez $p$ , więc $p$ jest dzielnikiem pierwszym liczby $13$ . Zatem $p = 13$ . Stąd $n - 1 \geq 13$ , co pociąga nierówność $M \geq 36\cdot 13$ . Z równości (1) wnioskujemy, że $M$ jest dzielnikiem liczby $6\cdot13^k$ , a skoro $M> 6\cdot13$ , to musi zachodzić podzielność $13^2 |M$ . Z zależności (2) uzyskujemy zatem, że liczba $9(n-1)+13$ jest podzielna przez $13^2$ , a więc

$ (3)\qquad \textrm{liczba } 9 \cdot \frac{1}{13}(n-1)+1 \textrm{ dzieli się przez } 13. $

Liczba $(n-1)$ jest — na mocy równości (1) — dzielnikiem liczby $6\cdot13^k-1$ i jednocześnie nie jest — na mocy podzielności (3) — podzielna przez 13. Stąd wynika, że liczba $\frac{1}{13}(n-1)$ jest równa 1, 2, 3 lub 6. Jednak w żadnym z tych czterech przypadków nie jest spełniona podzielność (3). Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że czynnik $n-1$ nie jest podzielny przez $p$ .

Z równości (1) wnioskujemy zatem, że czynnik $n-1$ musi być jedną z liczb: 1, 2, 3 lub 6. Stąd liczba $n$ jest równa 2, 3, 4 lub 7. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że istotnie każda z tych liczb spełnia warunki zadania:

$ 2^{2}=2^{2},2^{2}+3^{2}=13^{1},2^{2}+3^{2}+4^{2}=29^{1},2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=139^{1}. $

Odpowiedź: Liczba $n$ jest równa 2, 3, 4 lub 7.