LVI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ jest rzutem prostokątnym punktu $C$ na prostą $AB$ . Punkt $E$ jest rzutem prostokątnym punk-tu $D$ na prostą $BC$ . Punkt $F$ leży na odcinku $DE$ , przy czym

$ \frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}. $

Wykazać, że proste $CF$ i $AE$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Przez punkt $D$ poprowadźmy prostą równoległą do prostej $AE$ , która przecina bok $BC$ w punkcie $G$ (rys. 1). Na mocy twierdzenia Talesa uzyskujemy proporcje

$ \frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}= \frac{EG}{GB}, $

skąd wynika, że proste $FG$ i $DB$ są równoległe. Stąd oraz z podobieństwa trójkątów prostokątnych $CDE$ i $DBE$ otrzymujemy równości

$ \frac{FD}{GB}= \frac{ED}{EB}= \frac{CD}{DB}, $

Powyższa zależność wraz z równością $\measuredangle CDF = \measuredangle DBG$ dowodzi, że trójkąty $CDF$ i $DBG$ są podobne. Zatem $\measuredangle DAE = \measuredangle BDG = \measuredangle DCF$ . Jeśli przez $P$ oznaczymy punkt przecięcia prostych $CF$ i $AE$ , to z ostatniej zależności wynika, że punkty $A, D, C, P$ leżą na jednym okręgu. Ostatecznie mamy $\measuredangle APC = \measuredangle ADC = 90^\circ$ .