LVI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, a okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $BCD$ mają równe promienie. Rozstrzygnąć, czy z tych założeń wynika, że także okręgi wpisane w trójkąty $CDA$ i $DAB$ mają równe promienie.

Rozwiązanie

Odpowiedź postawiona na pytanie w treści zadania jest twierdząca.

Niech $I$ , $J$ będą środkami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty $ABC$ i $BCD$ (rys. 2).

Z równości promieni okręgów wpisanych w trójkąty $ABC$ i $BCD$ wynika, że proste $BC$ i $IJ$ są równoległe. Ponadto

$<br /> \measuredangle BIC = 180^\circ -(\frac{1}{2} \measuredangle CBA+ \frac{1}{2} \measuredangle BCA) = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle BAC.<br />$

Analogicznie dowodzimy, że $\measuredangle BJC = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle BDC$ . Z uzyskanych zależności oraz z równości $\measuredangle BAC = \measuredangle BDC$ wnioskujemy, że na czworokącie $BCJI$ można opisać okrąg. Zatem $BCJI$ jest trapezem równoramiennym. Stąd uzyskujemy równości

$<br /> \measuredangle ABC =2\measuredangle IBC =2\measuredangle JCB = \measuredangle DCB.<br />$

W efekcie otrzymujemy, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem równoramiennym o podstawach $BC$ i $AD$ . Stąd wynika, że trójkąty $CDA$ i $DAB$ są przystające, a więc okręgi wpisane w te trójkąty mają równe promienie.

Uwaga: W rozwiązaniu wykazaliśmy, że punkty $B$ , $I$ , $J$ , $C$ leżą na jednym okręgu. Nietrudno wyznaczyć środek tego okręgu: jest nim punkt $M$ przecięcia prostych $AI$ i $DJ$ , czyli środek łuku $BC$ okręgu opisanego na czworokącie $ABCD$ (rys. 3). Dowód tego faktu można znaleźć w broszurze LI Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek E, str. 113.